Quadratische Gleichung

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Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

ax^2+bx+c=0\quad

mit a\neq 0 schreiben lässt. Hierbei sind a, b, c Koeffizienten, x ist die Unbekannte. Ist b=0, spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine quadratische Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), f(x)=ax^2+bx+c; ihr Funktionsgraph im Cartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung f(x)=0 die Nullstellen dieser Parabel.

Allgemeine Form und Normalform[Bearbeiten]

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

 ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0).

Dabei heißt ax^2 quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, wenn a = 1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizient 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch a \neq 0 dividiert wird. Mit der Definition

p= \frac{b}{a}   und   \displaystyle q = \frac{c}{a}

lässt sich die Normalform somit schreiben als

 x^2 + px + q = 0 \,.

Im Folgenden werden zunächst quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen als Koeffizienten a, b und c bzw. als p und q betrachtet.

Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten[Bearbeiten]

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Anzahl der reellen Nullstellen[Bearbeiten]

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante D (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist D = b^2-4ac, im normierten Fall ist D = p^2 - 4q (zur Herleitung siehe unten):

Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

  • (A) Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x_1 und x_2.
  • (B) Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der x-Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1)^2 = 0 bringen.
  • (C) Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache Spezialfälle[Bearbeiten]

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes b = 0 oder das absolute Glied c = 0, so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Fehlendes lineares Glied[Bearbeiten]

Die reinquadratische Gleichung ax^2+c=0 mit a \neq 0 ist äquivalent zu

x^2 = -\frac{c}{a}\,.

Die Lösungen lauten

x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\,.

Im reellen Fall existieren für \tfrac{c}{a} > 0 keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

x_{1,2}=\pm \mathrm{i}\sqrt{\frac{c}{a}}.

Zum Beispiel hat die Gleichung x^2-3=0 die Lösungen x_{1,2} = \pm\sqrt{3}. Die Gleichung 2x^2+8=0 hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten x_{1,2}=\pm 2\mathrm{i}.

Fehlendes konstantes Glied[Bearbeiten]

Aus der Gleichung ax^2 + bx = 0 ergibt sich durch Ausklammern x(ax+b) = 0, d. h., es muss x = 0 oder ax+b=0 gelten. Die beiden Lösungen lauten also

x_1 = 0 und x_2 = -\tfrac{b}{a}\,.

Zum Beispiel hat die Gleichung 3x^2 - 2x = 0 die Lösungen x_1 = 0 und x_2 = \tfrac{2}{3}.

Allgemeine Lösungsformeln[Bearbeiten]

Zum Lösen quadratischer Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung nutzen. Oft ist es einfacher, stattdessen eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Formeln zu verwenden:[1]

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)[Bearbeiten]

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung lauten:

 x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Die Formel wird in Teilen Deutschlands umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie auswendig kennen sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt. In Österreich ist der Ausdruck große Auflösungsformel gebräuchlich.

Wenn man die Gleichung in der Form

ax^2 + 2 \beta x + c = 0

angibt, (d. h. mit \beta = b/2) erhält man die etwas einfachere Lösungsformel

 x_{1,2} = \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}
Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante[Bearbeiten]

Ist die oben eingeführte Diskriminante D = b^2 - 4ac negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt \sqrt{D}=i\sqrt{-D}. Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Resultate, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit - \tfrac{b}{2a} wird zum konstanten Realteil der beiden Resultate:

 x_{1,2} = - \frac{b}{2a} \pm i \cdot \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).
Herleitung der a-b-c-Formel[Bearbeiten]

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

\begin{array}{rcl}
  ax^2+bx+c & = & 0\\[1ex]
  ax^2+bx & = & -c\\[1ex]
  4a^2x^2+4abx & = & -4ac\\[1ex]
  (2ax)^2+2\cdot 2ax\,b + b^2 & = & b^2-4ac \\[1ex]
  (2ax+b)^2 & = & b^2-4ac \\[1ex]
  2ax+b & = & \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1ex]
  2ax & = & -b \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1ex]
  x & = & \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{array}

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)[Bearbeiten]

Bei Vorliegen der Normalform  x^2+px+q=0 \quad lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q}\,.

In Österreich ist die Formel als kleine Auflösungsformel bekannt.

Lösung der p-q-Formel bei negativer Diskriminante[Bearbeiten]

Analog zur a-b-c-Formel gibt es, wenn die Diskriminante D = p^2 - 4q negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Für die komplexen Zahlen ergeben sich die Lösungen zu:

 x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{q - \left(\frac{p}2\right)^2}
Herleitung der p-q-Formel[Bearbeiten]

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

\begin{array}{rcl}
   x^2+px & = & -q\\[1ex]
   x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 & = & \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\\[1ex]
   \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 & = & \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\\[1ex]
   x+\dfrac{p}{2} & = & \pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\[1ex]
   x & = & -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
\end{array}

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel a = 1, b = p und c = q setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Zerlegung in Linearfaktoren[Bearbeiten]

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

 x^2 + px + q = ( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )

und das nicht normierte in

 ax^2 + bx + c = a\cdot( x - x_1 ) \cdot ( x - x_2 )

Satz von Vieta[Bearbeiten]

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen x_1 und x_2, so gilt

0=x^2+px+q=( x -x_1 ) \cdot ( x - x_2 ) = x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2.

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

\, x_1 + x_2 = -p   und   x_1 \cdot x_2 = q.

Insbesondere wenn p und q ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von q als Summe -p ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für x^2 + 4x + 3 = 0 die Lösungen x_1 = -1 und x_2 = -3 durch die Zerlegung 3 = (-1)(-3) mit (-1) + (-3) = -4.

Numerische Berechnung[Bearbeiten]

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

x_1 = - \frac{p}{2} - \sgn(p) \cdot \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }
x_2 = \frac{q}{x_1}

Hierbei hat \sgn(p) den Wert -1 für p < 0 und sonst den Wert 1. Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

Beispiel[Bearbeiten]

Für die Gleichung

4x^2 - 12x - 40 = 0

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel:

x_{1,2} = \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4 \cdot 4 \cdot (-40)}}{2 \cdot 4},

also x_1 = -2 und x_2 = 5.

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

x^2 - 3x - 10 = 0

Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen

x_{1,2} = - \frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-10)},

also somit ebenfalls x_1 = -2 und x_2 = 5.

Mit Hilfe der Zerlegungen -10 = (-2) \cdot 5 und 5 - 2 = 3 erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere Beispiele
x^2 + 2x - 35 = 0\ Für die Diskriminante D gilt: D > 0. Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen x1 = −7 und x2 = 5
x^2 - 4x + 4 = 0\ Die Diskriminante ist D = 0. Die (doppelte) reelle Lösung ist x = 2.
x^2 + 12x + 37 = 0\ Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu x1 = −6 + \mathrm i und x2 = −6 − \mathrm i.

Konstruktion reeller Lösungen mit Zirkel und Lineal[Bearbeiten]

Für die Konstruktion der Lösungen x_1, x_2 der Gleichung

x^2 + px + q = 0

mit Zirkel und Lineal wird der Satz von Vieta verwendet, nach dem

x_1 \cdot x_2 = q und x_1 + x_2 = -p

gilt.

Im ersten Falle seien  0 < q \leq \left ( {p \over 2} \right )^2 und p\in \mathbb{R} gegeben. Wir bezeichnen mit  p nun die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Länge  \vert p \vert . Schlägt man den Thaleskreis über p und sucht auf diesem die Punkte mit Abstand  \sqrt{q} , so teilt jeweils deren Lot auf  p die Seite  p im Verhältnis  \vert x_1 \vert : \vert x_2 \vert.

Zur Konstruktion ermittle man zunächst \sqrt{q}, indem man eine Strecke der Länge  q+1 abtrage, darüber den Thaleskreis schlage und diese Strecke im Verhältnis  q:1 durch eine Senkrechte teile. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Thaleskreis bildet mit den Eckpunkten der konstruierten Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Hypotenuse hat gerade die Länge \sqrt{q}, was aus dem Höhensatz folgt.

Sodann konstruiere man eine Strecke p mit Länge \vert p\vert und schlage den Thaleskreis darüber. Anschließend errichte man an den Eckpunkten von p (nach einer Seite hin) Senkrechten, auf denen man zwei Punkte im Abstand \sqrt{q} abtrage. Die Verbindungslinien dieser beiden Punkte bildet eine Sehne durch den Thaleskreis.

Jeder dieser Schnittpunkte hat offenbar den Abstand \sqrt{q} zu der Seite p. An einem der Schnittpunkte dieser Sehne mit dem Thaleskreis konstruiere man ein Dreieck mit der Seite p. Die Höhe der Seite p teilt diese Seite im Verhältnis \vert x_1\vert :\vert x_2\vert .
Erklärung: Bezeichnet man die so gewonnenen beiden Teile der Seite p als x_1 und x_2 , so ist zum einen nach dem Höhensatz \vert x_1\vert \cdot \vert x_2\vert = \sqrt{q}^2 = q zum anderen gilt \vert x_1\vert + \vert x_2\vert = \vert p \vert . Beides trifft aber auch auf die Lösungen des Satzes von Vieta zu und damit sind dies die gesuchten Lösungen.

Im zweiten Falle seien  q<0 und  p\in \mathbb{R} . Wir erhalten damit für die quadratische Gleichung eine positive und eine negative Lösung. Um \vert x_1\vert und \vert x_2 \vert wieder als durch die Höhe getrennte Teile der Hypotenuse eines Dreiecks zu erhalten, konstruiere man wie folgt eine Strecke c mit der Länge \vert x_1 \vert + \vert x_2\vert .

Da  q<0 ersetzen wir  -q kurzerhand durch  +\vert q\vert .

Für x_1 ist aber \textstyle-p/2 + \sqrt{ (p/2)^2 +\vert q\vert } stets positiv, da der Wurzelterm offensichtlich stets größer als \tfrac p2 ist. Damit ist  \vert x_1\vert = x_1 . Sicherlich ist  x_2 stets negativ und daher ist  \vert x_2 \vert = -x_2 . Es gilt mithin

 \vert x_1\vert +\vert x_2 \vert = x_1 - x_2 = 2\cdot \sqrt{ \left ({p\over 2} \right )^2 +\vert q\vert} = \sqrt{ p^2+ \left(2\cdot \sqrt{ \vert q\vert}\right )^2 }.

Letzteres entspricht nach dem Satz des Pythagoras der Länge einer Hypotenuse über zwei Katheten der Länge \vert p\vert und  2\cdot \sqrt{ \vert q\vert} .

Damit ist klar, was zu tun ist. Man konstruiere wieder \textstyle\sqrt{\vert q\vert} wie oben beschrieben, trage bei zwei aufeinander senkrecht stehenden Strahlen an einem \vert p\vert und an dem anderen  2\cdot \sqrt{\vert q\vert } ab und ziehe zwischen den Verbindungslinien eine Strecke. Über dieser Strecke schlage man den Thaleskreis, suche auf diesem einen Punkt mit Abstand  \sqrt{\vert q\vert} wie oben beschrieben und konstruiere aus diesem und den Eckpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe der Strecke teilt die Strecke genau im Verhältnis \vert x_1\vert :\vert x_2\vert .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Komplexe Koeffizienten[Bearbeiten]

Die quadratische Gleichung

a z^2 + b z + c = 0

mit komplexen Koeffizienten a, b, c \in \C, a \neq 0 hat stets zwei komplexe Lösungen z_1, z_2 \in \C, die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante b^2-4ac gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Für die quadratische Gleichung

z^2-(\mathrm i+1)z+\mathrm i = 0\

hat die Diskriminante den Wert D=-2 \mathrm i=(\mathrm i-1)^2. Es ergeben sich die beiden Lösungen z_1 = 1 und z_2 = \mathrm i.

Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen[Bearbeiten]

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

x^2 + px + q = 0

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der pq-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper \mathbb  F_{2^n}\cong \mathbb F_2(\varrho) der Charakteristik 2 macht man den Ansatz x = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^i und gelangt mittels x^2 = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^{2i} zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten ai aus \mathbb F_2.

Beispiel[Bearbeiten]

Die quadratische Gleichung

x^2 - 1 = 0

hat im Restklassenring \Z/8\Z die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

Geschichte[Bearbeiten]

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden quadratische Gleichungen gelöst, beispielsweise auf folgende Art: Die quadratische Gleichung x^2 + p = sx ist äquivalent dem Gleichungssystem xy = p und  x+y = s . Für x wird nun der Ansatz x = \tfrac{s}{2}+e bzw. y = \tfrac{s}{2}-e gemacht. Für das Produkt p ergibt sich

p = xy = \left(\frac{s}{2}+e\right)\cdot\left(\frac{s}{2}-e\right) = \left(\frac{s}{2}\right)^2 - e^2.

Auflösen der binomischen Formel liefert

e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - p}.

Mit e ist damit auch die Lösung x der quadratischen Gleichung bestimmt. Als Beispiel wird die Gleichung  x^2 + 210 = 29x besprochen. Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem p = xy = 210 und  s = x+y = 29. Der oben genannte Ansatz liefert

 e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - 210} = \frac{1}{2}.

Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich

x = \frac{s}{2}+e = \frac{29}{2} + \frac{1}{2} = 15.

Die Griechen kannten keine negative Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. Gleichungen der Art

x^2 +ax = a^2

werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen

ax^2 +c = bx bzw. ax^2 + bx = c

in Euklid (VI 28) bzw. (VI 29).

geometrische Lösung der Gleichung  x^2 +10x = 39 nach Euklid

Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt

x^2 + 10x = 39

als Spezialfall von x^2 + bx = c mit b,c > 0 geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge x (und somit der Fläche x^2) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten 5 und x (und somit jeweils der Fläche 5x) auf. Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von x^2 + 10x = 39. Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge 5 (und somit der Fläche 25) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche 39 + 25 = 64. Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge 5+x und somit den Flächeninhalt (5+x)^2. Wegen 64=8^2 schließt man 5+x=8 und somit x=3. Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu (x+5)^2 = 64 mit der (positiven) Lösung x=3. Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung x=-13 erhält.

geometrische Lösung der Gleichung  x^2+px=q nach Brahmagupta

Bei Aryabhata und Brahmagupta wird die Lösung der Gleichung

x^2+px = q

mit Worten beschrieben. Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats:

 x^2+4x\frac{p}{4}+4\left(\frac{p}{4}\right)^2 = q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2.

Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als

 x = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+q}-\frac{p}{2} .

Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von

ax^2+bx = c

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

x = \frac{\sqrt{ac+\left(\frac{b}{2}\right)^2} -\frac{b}{2}}{a}.

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Allgemeine Lösungsformeln, wie die heute übliche

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

für die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form

ax^2+bx + c = 0,

entstanden erst zu Beginn des 16. Jahrhunderts, als negative Zahlen als Lösung akzeptiert waren und das Wurzelzeichen erfunden war (durch Christoph Rudolff 1525 in seiner Algebra). Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Schweizer, Wilhelm: Lambacher Schweizer, Algebra 2, 2. Auflage, Stuttgart 1968

Literatur[Bearbeiten]

  • Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft Bd.1 („Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik“), 2.Aufl., Birkhäuser 1966.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Quadratische Gleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien