Quadratischer Rest

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„Quadratischer Rest“ ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Zahlentheorie. Eine Zahl heißt quadratischer Rest bezüglich eines Moduls , wenn sie zu teilerfremd ist und es eine Zahl gibt, für die die Kongruenz

gilt, die gleichwertig ist mit der Existenz einer ganzen Zahl , für die gilt:

Existiert für eine zu teilerfremde Zahl keine Lösung der obigen Kongruenz, dann nennt man quadratischen Nichtrest modulo . Zu nicht teilerfremde Zahlen werden nicht klassifiziert, sind also weder quadratische Reste noch quadratische Nichtreste.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Beispiel werden die quadratischen Reste und Nichtreste des Moduls 6 ermittelt. Da die Zahlen 0, 2, 3 und 4 nicht teilerfremd zu 6 sind, werden sie nicht klassifiziert. Zur Klassifikation der Zahlen 1 und 5 ist die folgende Tabelle der Quadrate aller Zahlen von 0 bis 5 hilfreich.

0 00 0
1 01 1
2 04 4
3 09 3
4 16 4
5 25 1

Die Zahl 1 findet sich in der rechten Spalte und ist deshalb quadratischer Rest. Die Zahl 5 hingegen ist quadratischer Nichtrest, da sie in der rechten Spalte fehlt.

Vereinfachte Berechnung der Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für kleinere Zahlen können die quadratischen Reste relativ rasch berechnet werden: Es genügt, die Zahlen zu betrachten, denn und haben denselben Rest, ebenso und , also auch und .

Die Berechnung wird hier am Beispiel der Zahl demonstriert.

 0 mod 11 = 0;  1 mod 11 = 1;   4 mod 11 = 4;   9 mod 11 = 9
16 mod 11 = 5; 25 mod 11 = 3;  36 mod 11 = 3;  49 mod 11 = 5
64 mod 11 = 9; 81 mod 11 = 4; 100 mod 11 = 1; 121 mod 11 = 0

Wenn man so weitermacht, wiederholt sich der Zyklus (0,1,4,9,5,3,3,5,9,4,1) immer wieder. Wegen der Symmetriebeziehung kann man sich auf die Reduktion der Quadratzahlen beschränken, die nicht größer als sind.

Zur Berechnung der Quadratzahlen kann die Beziehung

verwendet werden. Die nächste Quadratzahl kann also durch Addition von ganz ohne Multiplikation berechnet werden. Damit lassen sich die quadratischen Reste für 11 rasch auch im Kopf berechnen.

Multiplikative Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und quadratische Reste modulo , dann ist auch quadratischer Rest. Dies lässt sich einfach zeigen, indem man beide Zahlen multipliziert: Aus

folgt zunächst

mit zwei ganzen Zahlen und . Nun liefert eine Multiplikation

mit der ganzen Zahl , woraus

folgt, sodass mit und auch das Produkt quadratischer Rest ist.

Legendre- und Jacobi-Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Rechnungen, bei denen man nachweisen will, ob eine Zahl quadratischer Rest ist, stehen zwei Kurzschreibweisen zur Verfügung. Das Legendre-Symbol gibt an, ob eine Zahl quadratischer Rest für einen Primzahlmodul ist:

Dieses wird zum Jacobi-Symbol verallgemeinert, das die Berechnung für beliebige Moduln auf deren Primfaktorzerlegung zurückführt:

Da das Legendre-Symbol für Primzahlmoduln mit dem Jacobi-Symbol identisch ist, ist die Verwendung der gleichen Kurzschreibweise nicht von Nachteil. Als wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung des Legendre-Symbols steht das quadratische Reziprozitätsgesetz mit dem ersten und zweiten Ergänzungssatz zur Verfügung.

Anwendung in der Kryptologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vor allem in der Kryptologie stellt sich vielfach die Aufgabe, für eine vorgegebene Zahl und einen bekannten Modul zu entscheiden, ob diese Zahl für den Modul quadratischer Rest ist. Diese Fragestellung wird als Quadratische-Reste-Problem bezeichnet. Ist der Modul eine Primzahl, so kann dies recht einfach entschieden werden. Andernfalls stellt es sich teilweise recht schwierig dar. Insbesondere besagt die Quadratische-Reste-Annahme, dass es für bestimmte Moduln praktisch nicht möglich ist, diese Frage zu entscheiden.

Quadratische Reste bei Primzahlmoduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Modul eine ungerade Primzahl , so liefert das Eulersche Kriterium eine wichtige Aussage über quadratische Reste. Ein zu teilerfremdes ist demnach genau dann quadratischer Rest, wenn die folgende Kongruenz gilt:

Daraus lässt sich herleiten, dass es für einen ungeraden Primzahlmodul genau quadratische Reste und ebensoviele quadratische Nichtreste gibt.

Der Fall von Primzahlen und das Legendre-Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei eine Primzahl. Ist weder noch durch teilbar, so gibt die folgende Tabelle in Abhängigkeit von und an, ob das Produkt quadratischer Rest (R) oder Nichtrest (NR) ist:

a R a NR
b R ab R ab NR
b NR ab NR ab R

Dies lässt sich auch so formulieren: Für das Legendre-Symbol gilt stets

Für ungerade Primzahlen gilt

Aus dieser Beziehung lässt sich auch unmittelbar die folgende Aussage ablesen:

ist quadratischer Rest modulo Primzahlen der Form und Nichtrest modulo Primzahlen der Form .

Die Besonderheit der 4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Modulo 4 gibt es nur einen quadratischen Rest, nämlich 1. Denn sowohl für als auch für ergibt sich und für gerade Zahlen gilt . 3 ist demzufolge quadratischer Nichtrest, was bedeutet, dass keine Quadratzahl modulo 4 den Rest 3 lässt. Die ungeraden Primzahlen (also alle außer 2) lassen sich daher in zwei Gruppen einteilen:

  • Primzahlen p, für die gilt: Für sie existieren Quadratzahlen mit . Für die Primzahlen dieser Gruppe gilt:
Mit dem Legendre-Symbol kann man dafür auch
schreiben oder kürzer:
  • Primzahlen q, für die gilt: Für sie existieren keine Quadratzahlen mit . Für die Primzahlen dieser Gruppe gilt:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 124 und 127–147.