Quadratzahl

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16 Kugeln bilden ein Quadrat.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist 144 = 12 \cdot 12 eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Gerade Quadratzahlen sind das Quadrat gerader Zahlen, während ungerade Quadratzahlen das Quadrat ungerader Zahlen sind.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen[Bearbeiten]

Jede Quadratzahl n^2 ist die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen.

\begin{align}
&1 &= 1 &=1^2\\
&1 + 3 &= 4 &= 2^2\\
&1 + 3 + 5 &= 9 &= 3^2\\
&1 + 3 + 5 + 7 &= 16 &= 4^2\\
& & \vdots   &
\end{align}


Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,[2] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg
0 + \color{blue}1 \color{black}= 1 1 + \color{blue}3 \color{black}= 4 4 + \color{blue}5 \color{black}= 9 9 + \color{blue}7 \color{black}= 16

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Zeile hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen die blauen Kugeln so alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz lässt sich auch direkt mit Hilfe der ersten binomischen Formel beweisen. Dazu werden die entsprechenden Summen durch die Formel

n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)

dargestellt. Durch vollständige Induktion lässt sich deren Gültigkeit zeigen. Der Induktionsanfang

1^2 = \sum^1_{i=1} 2i -1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1

für n = 1 ist offensichtlich richtig. Unter der Annahme, dass

n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1)

gilt, ist dann auch der Induktionsschluss

\begin{align}
(n+1)^2 &= n^2 + 2n + 1\\
        &= \bigl( \sum^n_{i=1} (2i-1)  \bigr) + 2n + 1\\
        &= \bigl( \sum^n_{i=1} (2i-1)  \bigr) + 2(n + 1) - 1\\
        &= \sum^{n+1}_{i=1} (2i-1)
\end{align}

gültig.


Jede Quadratzahl n^2 ist auch die zweifache Summe der ersten n-1 natürlichen Zahlen plus der Zahl n.

\begin{align}
&1 &= 1 &=1^2\\
&2 \cdot 1 + 2 &= 4 &= 2^2\\
&2 \cdot (1 + 2) + 3 &= 9 &= 3^2\\
&2 \cdot (1 + 2 + 3) + 4 &= 16 &= 4^2\\
& & \vdots   &
\end{align}

Trick zum Berechnen von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf[Bearbeiten]

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

\underline{1}5^2 = \underline{2}25
\underline{2}5^2 = \underline{6}25
\underline{3}5^2 = \underline{12}25
\underline{4}5^2 = [4 \cdot (4+1)]25 = \underline{20}25
[a]5^2 = [a \cdot (a+1)]25

Beweis: Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als  10 \cdot k+5, k \in \mathbb{N}. Ihr Quadrat ist somit (10 \cdot k+5)^2 = 100k^2+100k+25 = 100 \cdot k(k+1)+25.

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen[Bearbeiten]

Dreieckszahlen[Bearbeiten]

10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen \Delta_4 = 10 und \Delta_5 = 15 ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

\begin{align}
n^2 &= \frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2}\\
    &= \Delta_{n-1} + \Delta_n\\
\end{align}

Zentrierte Quadratzahlen[Bearbeiten]

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischen Muster erkennen lässt.

Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg

Auch die Formel für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden.

\begin{align}
2n^2 + 2n + 1 &= n^2 + (n^2 + 2n + 1) \\
&=n^2 + (n+1)^2
\end{align}

Pyramidenzahlen[Bearbeiten]

Die Summe der ersten n Quadratzahlen ergibt die n-te Pyramidenzahl.

\sum^n_{i=1} (i^2) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

Square pyramidal number.svg

Endziffern von Quadratzahlen[Bearbeiten]

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist y die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl a = 10 \cdot x + y, dann gilt für deren Quadrat

a^2 = 100 \cdot x^2 + 20 \cdot xy + y^2

Die letzte Ziffer von a^2 ist somit identisch mit der letzten Ziffer von y^2. Unter den ersten Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 findet sich jedoch keine Zahl, die auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Teileranzahl[Bearbeiten]

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei n\in\N, A=\{d\in\N\mid d^2\leq n, d|n\} und B=\{d\in\N\mid n\leq d^2, d|n\}. Es ist |A|=|B|, denn \textstyle B=\{\frac n d\mid d\in A\}. A\cup B enthält alle Teiler von n, also ist die Anzahl der Teiler von n gleich |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B| = 2|A|-|A\cap B|. Ist n eine Quadratzahl, so ist A\cap B=\{\sqrt n\}. Andernfalls ist A\cap B=\emptyset.

Reihe der Kehrwerte[Bearbeiten]

Hauptartikel: Basler Problem

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6} .

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen[Bearbeiten]

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:


\begin{align}
3^2 + 4^2 &= 5^2 \\
10^2+11^2+12^2 &= 13^2+14^2 \\
21^2+22^2+23^2+24^2 &= 25^2+26^2+27^2 \\
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2 &= 41^2+42^2+43^2+44^2
\end{align}

oder allgemein

\sum_{k=2n^2+n}^{2n^2+2n} k^2 = \sum_{k=2n^2+2n+1}^{2n^2+3n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)(12n^2+12n+1)}{6}

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

1^2 + 2^2 = 5; 2^2 + 3^2 = 13; 4^2 + 5^2 = 41; \dots (vgl. OEIS, A027861, A027862)
2^2 + 3^2 + 4^2 = 29; 6^2 + 7^2 + 8^2 = 149; 12^2 + 13^2 + 14^2 = 509; \dots (vgl. OEIS, A027863, A027864)
2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 139; 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 = 199; 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 = 271; \dots (vgl. OEIS, A027866, A027867)

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Square numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143
  2. Eric W Weisstein: Odd Number Theorem. In: MathWorld - A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 8. März 2014.