Quadratzahl

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16 Kugeln bilden ein Quadrat.

Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade Quadratzahlen sind das Quadrat gerader Zahlen, während ungerade Quadratzahlen das Quadrat ungerader Zahlen sind.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Quadratzahl ist die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen.

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,[2] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Zeile hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen die blauen Kugeln so alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz lässt sich auch direkt mit Hilfe der ersten binomischen Formel beweisen. Dazu werden die entsprechenden Summen durch die Formel

dargestellt. Durch vollständige Induktion lässt sich deren Gültigkeit zeigen. Der Induktionsanfang

für ist offensichtlich richtig. Unter der Annahme, dass

gilt, ist dann auch der Induktionsschluss

gültig.

Jede Quadratzahl ist auch die zweifache Summe der ersten natürlichen Zahlen plus der Zahl .

Trick zum Berechnen von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

Beweis: Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als . Ihr Quadrat ist somit .

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dreieckszahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

10 + 15 = 25

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen und ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

Zentrierte Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischen Muster erkennen lässt.

Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg

Auch die Formel für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden.

Pyramidenzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe der ersten Quadratzahlen ergibt die -te Pyramidenzahl.

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

Square pyramidal number.svg

Endziffern von Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl , dann gilt für deren Quadrat

Die letzte Ziffer von ist somit identisch mit der letzten Ziffer von . Unter den ersten Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 findet sich jedoch keine Zahl, die auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Restklassen von Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass 0, 1, 4, 5, 6, 9 die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo 10 sind. Auch für andere Zahlen sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen 0, 1, 3, 4, 5 und 9.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

Teileranzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei , und . Es ist , denn . enthält alle Teiler von , also ist die Anzahl der Teiler von gleich . Ist eine Quadratzahl, so ist . Andernfalls ist .

Reihe der Kehrwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Basler Problem

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

.

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

oder allgemein

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

  • n=2:
(Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS)
  • n=3:
(Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS)
  • n=6:
(Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Square numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143
  2. Eric W Weisstein: Odd Number Theorem. In: MathWorld - A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 8. März 2014.