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Quantenlogik

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Schrödingers Katze ist sowohl lebendig als auch tot. Das gilt in der herkömmlichen Logik als unlogisch.

Die Quantenlogik (englisch quantum logic) ist der Versuch, die Quantenmechanik in einer logischen Sprache zu formulieren.[1] Die Strukturen der Quantenphysik wirken paradox und sind teilweise schwer nachzuvollziehen. Fragestellungen wie die, ob Schrödingers Katze lebt, fordern das Verständnis heraus. Im Kontext der mathematischen Strukturen der Schrödingergleichung und der Heisenbergschen Unschärferelation wurde deshalb eine Logik gesucht, die Deutungen der Quantenmechanik wie dem Komplementaritätsprinzip oder dem Korrespondenzprinzip nachempfunden ist. Dazu musste die herkömmliche Logik modifiziert werden.

Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Ansätze zur Quantenlogik:

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammen mit der Relativitätstheorie wirkte die etwa 1900 entstandene Quantenphysik wie eine Revolution der Physik. Der Welle-Teilchen-Dualismus wurde entdeckt, die Frage, ob beispielsweise Elektronen oder Lichtquanten „wirklich“ Teilchen oder Wellen seien, war nicht zu beantworten. Im Jahre 1926 erschienen sechs Arbeiten von Erwin Schrödinger, die schließlich zu einer komplexen Differentialgleichung führten, die man Schrödingergleichung nennt. 1927 wurde die Heisenbergsche Unschärferelation formuliert.[2] Die Welt der Elementarteilchen schien ganz anders zu sein, als man es von der bisherigen Physik kannte. Die Quantenmechanik erlaubt inkompatible Experimente. Die Unschärferelation besagt beispielsweise, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Wenn man aus der Quantenmechanik eine Logik entwickeln will, wird deshalb das Distributivgesetz der Verknüpfung von und () und oder () verletzt: .[3] Es sei

  • p die Aussage: „Das Elektron ist schnell“ (Die Messung des Impulses ergibt eine Zahl in einem bestimmten Intervall.)
  • q sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem linken Intervall“ und
  • r sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem rechten Intervall“.

Dann gilt zwar , aber gemäß der Unschärferelation nicht mehr unbedingt .[4] Impuls und Ort lassen sich nicht beide gleichzeitig genau bestimmen. Dies führt also zum Ablehnen der klassischen distributiven Logik.

Quantenregeln der Logik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1936 schlugen Johann von Neumann und Garrett Birkhoff vor,[5] die Operatoren der Schrödingergleichung als Aussagen über das Quantensystem zu interpretieren:

Damit war die Quantenlogik geboren. Sie wich allerdings in einigen Punkten von der herkömmlichen Logik ab. Das algebraisch formulierte Logiksystem der Booleschen Algebra musste überarbeitet werden.

Den algebraischen Beziehungen entsprechend gibt es Beziehungen zwischen den Aussagen, die einen Kalkül bilden, in dem – entgegen der klassischen Aussagenlogik – das Distributivgesetz durch die so genannte Orthomodularität ersetzt wird und das Tertium non datur nur noch eingeschränkt gilt.[7]

Die Quantenlogik lässt sich analog zum orthomodularen Verband formalisieren, hier werden zunächst neun axiomatische Regeln[8] wiedergegeben, man nennt sie die Orthologik OL.[9] Der Querstrich ist ein Folgerungsstrich, also die Regel besagt jeweils, dass man von den oben stehenden Aussagen zu den unten stehenden übergehen darf:

Nr. Regel Bezeichnung
1 Aus A folgt A: reflexiver Schluss
2 -Beseitigung 1
3 -Beseitigung 2
4 Duplex negatio affirmat
5 Doppelte Negation Einführung
6 Ex contradictione sequitur quodlibet
7 transitiver Kettenschluss
8 Einführung mit Prämissen A
9 Kontraposition
10 Orthomodularität

Die 10. axiomatische Regel, die Orthomodularität, ist hier nach André Fuhrmann wie die anderen neun Regeln von OL in junktorenlogischer Schreibweise notiert.[8] Sie setzt sich zusammen aus dem Modularitätsgesetz ( impliziert ) einerseits und Spiegelungen andererseits. Dies sind so genannte Orthokomplemente, die die Funktion der Negation übernehmen.

Dieses Logiksystem wurde ausgiebig untersucht. Logiker untersuchen Logiken unter anderem daraufhin, ob sie entscheidbar sind. Die Regel der Orthomodularität entspricht keiner in der ersten Stufe der Logik formulierbaren Rahmen-Bedingung. Deshalb ist ihre Entscheidbarkeit bisher noch nicht bewiesen.[8]

Dreiwertige Logik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Statue Quantum Man (2006) von Julian Voss-Andreae zeigt die in der Quantenlogik versuchte verschiedene Ansicht von ein und demselben Realen.

Da in der Quantenmechanik die klassisch vorausgesetzte Kommensurabilitätsbedingung nicht erfüllt zu sein braucht, haben einige Wissenschaftler wie z. B. Paulette Destouches-Février, Hans Reichenbach und Bas van Fraassen[10] versucht, eine dreiwertige Logik als Quantenlogik einzuführen. Damit wird das Prinzip der Zweiwertigkeit allerdings verlassen.

Van Fraassen entwickelte eine Ausschlussnegation. Wenn eine physikalische Größe m nicht einen bestimmten Wert – beispielsweise 7 – annimmt, so kann dies im Sinne der Ausschlussnegation nicht nur bedeuten, dass m nicht 7 ist, sondern auch, dass sich das System in keinem Zustand befindet, zu dem ein Wert von m gehört.[11]

Hans Reichenbach behauptet, dass man sich bei der Beurteilung wissenschaftlicher Aussagen nur auf Wahrscheinlichkeitserwägungen stützen kann. Gewissheit dürfe von der Wissenschaft nicht erwartet werden.[12] In den 1930er und nachfolgenden Jahren arbeitete er an Problemen der Wahrscheinlichkeitslogik. Zur logischen Beschreibung der Quantenmechanik konstruierte Reichenbach eine dreiwertige Quantenlogik mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbestimmt, die drei Arten der Negation (ausschließende, diametrale und vollständige Negation) und drei Arten der Implikation (Standardimplikation, Alternativimplikation, Quasiimplikation) besitzt.[13] Nachdem Ulrich Blau eine dreiwertige Logik der natürlichen Sprache zur Diskussion gestellt hat, wurde eine gewisse Parallele zur Dreiwertigkeit bei Reichenbach gezogen, weil bereits alltägliche Beispiele für den Fall unerfüllter Präsuppositionen eine solche Bewertung nahelegen.[14]

Für die Junktoren und () und oder () gelten folgende Wahrheitstafeln mit falsch (f), unbestimmt (u) und wahr (w):[15]

a und b
b

a
f u w
f f f f
u f u u
w f u w
 
a oder b
b

a
f u w
f f u w
u u u w
w w w w

Die Subjunktion (auch Implikation genannt: wenn-dann) wird nicht einheitlich gestaltet. Hier sind die Versionen von Jan Łukasiewicz, Ulrich Blau[16] sowie die Alternativ- und die Quasiimplikation von Reichenbach dargestellt:

Łukasiewicz
b

a
f u w
f w w w
u u w w
w f u w
 
Blau
b

a
f u w
f w w w
u w w w
w f u w
 
Alternativimplikation
b

a
f u w
f w w w
u w w w
w f f w
 
Quasiimplikation
b

a
f w
f u u
w f w

Verteidiger der drei- oder mehrwertigen Logik meinen, die Logik müsse sich der Unbestimmtheit der Messaussagen der Quantenphysik anpassen und nicht umgedreht.[17]

Dialogische Logik zeitlicher Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Carl Friedrich von Weizsäcker (links) und Peter Mittelstaedt während des Internationalen Symposiums für Quantenlogik, Köln 1984

1955 regte Carl Friedrich von Weizsäcker in Göttingen an, den von Birkhoff und v. Neumann aufgestellten Aussagenkalkül aus grundsätzlichen erkenntnistheoretischen Überlegungen zur Quantenmechanik abzuleiten.[18] Peter Mittelstaedt führte dies in den Jahren 1958–1963 so weit aus, wie es mit den seinerzeit zur Verfügung stehenden mathematischen Mitteln möglich war.[19] Die Ausarbeitung einer Logik zeitlicher Aussagen Weizsäckers klang auch im Spätwerk Rudolf Carnaps an.[20] Mittelstaedt entlehnte 1959 den Arbeiten Paul Lorenzens Dialoge zur semantischen Begründung zusammengesetzter Aussagen über physikalische Größen (Observable).[21] Aus dieser dialogischen Logik wurde eine zeitliche Quantenlogik erforscht.[22]

In der dialogischen Logik von Lorenzen und Kuno Lorenz wird die Wahrheit eines Satzes durch einen Dialog von Proponent (P) und Opponent (O) bestimmt, in dem die Dialogpartner sich jeweils auf voriges Behaupten und Zeigen beziehen. Der Proponent hat gewonnen, wenn er eine angegriffene nicht mehr logisch verknüpfte Aussage (Elementaraussage) verteidigt hat oder wenn der Opponent (auf der linken Spalte mit O notiert) eine angegriffene Elementaraussage nicht verteidigt. Der Junktor Subjunktion ( wenn-dann) ist im hier gebrauchten Zusammenhang das, was bei Reichenbach in der dreiwertigen Logik Implikation heißt. Es gibt zwei Dialoge, einen um den Wennsatz und anschließend einen um den Dannsatz. Hier werden mit dem Fragezeichen jeweils die vorhergehenden Zeilen angegriffen.

Kommentar
Zusammengesetzte Gesamtaussage: Wenn A dann A.
Der Wennsatz wird behauptet und dadurch die Gesamtaussage angegriffen.
Ein Beweis bzw. ein Vorzeigen wird verlangt.
Das behauptete A wird vorgezeigt oder bewiesen.
Als Verteidigung muss gemäß der -Regel der Dannsatz behauptet werden.
Ein Beweis bzw. ein Vorzeigen wird verlangt.
Das behauptete A wird vorgezeigt oder bewiesen. P hat gewonnen, die Gesamtaussage ist wahr.

An dieser Stelle setzen Mittelstaedt und Weizsäcker an. Man kann die Grundregeln der dialogischen Logik so gestalten, dass der Beweis für eine zu Beginn gemachte Aussage nach einer gewissen Zeit nicht mehr zur Verfügung steht.[23]

Von Weizsäcker stellt folgende Überlegung an: Es sei beispielsweise m die konkrete Aussage: „Der Mond ist zu sehen“ (für A eingesetzt). Der Proponent behauptet wie im Schaubild .

„Der Opponent setzt m für A ein. Zum Beweis aufgefordert, sagt er: ‚Hier sieh den Mond, gerade über dem Horizont!‘ Der Proponent erkennt den Beweis an. Nunmehr selbst zum Beweis aufgefordert, sagt er: ‚Hier sieh den Mond, gerade über dem Horizont!‘ Der Opponent muss den Beweis und damit seine Niederlage anerkennen. – Aber der Proponent muss in diesem Beispiel darauf achten, dass er schnell genug reagiert. Sonst könnte der Opponent, der ihm gerade noch den Mond gezeigt hatte, die Anerkennung des zweiten Beweises verweigern: der Mond ist inzwischen untergegangen.“

Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. S. 245.

In der üblichen formalen nichttemporalen Logik ist diese Gesamtaussage sofort formallogisch wahr, weil der Proponent das Setzen von A des Opponenten einfach übernehmen darf. In der temporalen Logik ist die materiale Wahrheit beweis- bzw. vorzeigeabhängig.

Peter Mittelstaedt hat gezeigt, dass in der Quantenlogik aus diesen Gründen das Gesetz nicht gilt.[24] In dieser Form wird die Subjunktion auch Sasaki-hook genannt und es gibt weitere vier Gesetze, die durch die Quantenlogik verletzt werden.[25] Mittelstaedt begründet die Verletzung dieser Gesetze durch die Anwendung der Unschärferelation: Man setze für A die Aussage „Dieses Elektron hat den Impuls p“ und für B „Dieses Elektron hat den Ort q“ ein. Der Opponent misst nun den Impuls des Elektrons und findet p, dann misst er den Ort und findet q. Jetzt wiederholt der Proponent die Impulsmessung, aber leider findet er den Wert p nicht wieder.[26] Das Gesetz gilt also deshalb nicht, der Proponent kann das zweite A (Impuls p) nicht mehr durch Messung beweisen.

Status der Logik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Forschungen zur Quantenlogik brachten Fragen zum Status der Logik überhaupt auf, denn die Abweichungen von der klassischen Logik entzünden immer wieder die Frage nach der Absolutheit der Logik.[27] Irritierende Fragen tauchten auf: Gibt es mehrere Logiken, so wie es mehrere Geometrien gibt? Ist die Logik lokal, also bereichsabhängig? Ist die Logik selbst als ein empirischer Forschungsgegenstand und nicht mehr als der Wissenschaft vorgelagert anzusehen?

In der dialogischen Logik und bei anderen Logiksystemen vom Gentzentyp werden verschiedene Rahmenregelpakete angeboten, die jeweils zu einer bestimmten Logik führen. Zum Beispiel auch zur Quantenlogik. Dasselbe gilt für die Axiomensysteme vom Hilberttyp. Durch diese Möglichkeiten kann innerhalb eines logischen Regelwerks überlegt werden, für welches Regelpaket man sich entscheiden will und braucht nicht ganz grundsätzlich die gesamten Regelwerke gegeneinander auszuspielen. Maria Luisa Dalla Chiara und Roberto Giuntini beurteilen die Situation so, dass es nicht nur verschiedene Logiken, sondern auch verschiedene Quantenlogiken gibt und stellen die Frage, ob es eine richtige Quantenlogik geben kann.[28]

Andreas Kamlah fragt kritisch, ob die dialogische Quantenlogik eine analytische Theorie sei,[29] Hilary Putnam fragte, ob die Logik empirisch ist.[30] Für Putnam hat die Logik denselben empirischen Status wie die Geometrie.[30]

Entwicklungen und Resonanz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die quantenlogischen Forschungen wurden 1963–1968 vornehmlich in der Schweiz durch Josef-Maria Jauch und Constantin Piron fortgesetzt, dann seit etwa 1970 vor allem in Köln (Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow), Genua (Enrico Beltrametti) und Amherst (Charles H. Randall, David J. Foulis). 1976 fand ein erstes internationales Treffen von Quantenlogikern in Bad Homburg statt; es folgten Kolloquien in Erice/Sizilien 1979 und in Köln 1984, bei denen die große Bandbreite der philosophischen, logischen, linguistischen, algebraischen, geometrischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Forschungen zum Thema Quantenlogik sichtbar wurden, die heute in verschiedenen Sektionen der IQSA vertreten sind. Mittelstaedt führte Erweiterungen der Quantenlogik zu einer Relativistischen Quantenlogik durch.[31]

Schreibweise Sprechweise
Es ist möglich, dass p
Es ist notwendig, dass p
p ist kontingent

1963 konnte Saul Kripke ein Modell (Kripke-Rahmen K: ) für die Vielzahl der bis dahin vorgeschlagenen modallogischen Systeme entwickeln.[32] Die oben genannte Orthologik OL lässt sich in die intuitionistische Modallogik abbilden und durch eine Klasse von Kripke-Rahmen vollständig charakterisieren.[8] Auf dieser axiomatischen Grundlage verwendeten seit den 1970er Jahren Bas van Fraassen (Toronto) und Maria L. Dalla Chiara (Florenz) Modalitäten im Rahmen der Quantenlogik.[33] Franz Josef Burghardt entwickelte die Modallogik der Quanten weiter.[34]

Hans Lenk und Wolfgang Stegmüller haben die Quantenlogik kritisch untersucht.[35] Erhard Scheibe[36] behauptet, dass ein Aufbau der Quantentheorie unter Beibehaltung der klassischen Logik möglich ist, wenn man für das kontingente Verhalten eines Systems eine epistemische Formulierung wählt, die sich unmittelbar auf unsere experimentelle Feststellungen bezieht und nicht auf Behauptungen über das Vorliegen von Eigenschaften.[37]

Der Arzt Walter Köster strebt mit Ausbildungen und Vorträgen eine quantenlogische Medizin an. Das homöopathische Arzneimittel dürfe nicht in widersprüchliche Symptome zergliedert, sondern müsse quantenlogisch als Ganzes angesehen werden.[38]

Nach 2000 wurden zunehmend die Verdienste der Quantenlogik als wertvoller Beitrag zur Sprachforschung anerkannt, so unter anderen von Brigitte Falkenburg.[39]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Garrett Birkhoff, Johann von Neumann: The logic of quantum mechanics. In: Ann. of Math. 37, 1936, S. 823.
  • Ulrich Blau: Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien. Heidelberg 2008, S. 191–290.
  • Enrico Beltrametti, Bas van Fraassen (Hrsg.): Current Issues in Quantum Logic (= Ettore Majorana International Science Series. Vol. 8). New York/London 1981, ISBN 0-306-40652-7.
  • André Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532–533
  • Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow (Hrsg.): Recent Developments in Quantum Logic (= Grundlagen der exakten Naturwissenschaften Bd. 6). Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01695-7.
  • Peter Mittelstaedt: Quantum Logic (= Synthese Library. Vol. 126). Doordrecht 1978, ISBN 90-277-0925-4.
  • Ewald Richter: Quantenlogik. In: Joachim Ritter et al. (Hrsg.): Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 7, Basel 1989, ISBN 978-3-7965-0698-7, S. 1782–1785.
  • Carl Friedrich von Weizsäcker: Komplementarität und Logik. In: Die Naturwissenschaften 42, 1955, S. 521–529 u. 545–555.
  • Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Carl Friedrich von Weizsäcker sprach 1955 noch von „Komplementaritätslogik“, Peter Mittelstaedt ab 1960 von „Quantenlogik“. Dieses Wort wurde bis etwa 1990 als Oberbegriff für alle Quantenstrukturen verwendet.
  2. Friedrich Hund: Geschichte der Quantentheorie. 1984³.
  3. Klaus Mainzer: Quantentheorie. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, S. 538.
  4. Peter Forrest: Quantum logic. In: Edward Craig (Hrsg.): Routledge Encyclopedia of Philosophy. Vol. 7, 1998, S. 882ff.
  5. Johann von Neumann, Garrett Birkhoff: The logic of quantum mechanics. In: Annals of Mathematics 37, 1936, S. 823–843.
  6. Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971, 2. Auflage 1981, S. 242.
  7. Peter Mittelstaedt: Quantum Logic. S. 6–26. Zum Tertium non datur in der Quantenlogik ausführlich Peter Mittelstaedt und Ernst-Walther Stachow: The principle of excluded middle. In: Journal of Philosophical Logic 7, 1978, S. 181–208.
  8. a b c d André Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532.
  9. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 36.
  10. Bas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. In: Cohen, Wartofsky: The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics (= The University of Western Ontario Series in Philosophy of Science. Vol. 5a). S. 577–607.
  11. Bas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. S. 577–607.
  12. Martin Carrier: Reichenbach, Hans. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Erste Auflage. Band 3, Metzler 1995/2004, S. 542
  13. Hans Reichenbach: Gesammelte Werke. Band 5: Philosophische Grundlagen der Quantenmechanik und Wahrscheinlichkeit. S. 182f.
  14. Ewald Richter: Quantenlogik. 1989, S. 1784.
  15. Werner Stelzner: Logik, mehrwertige. In: Hans Jörg Sandkühler (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Meiner, Hamburg 2010, Bd. 2, S. 1462ff.
  16. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 62.
  17. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 63
  18. Carl Friedrich von Weizsäcker: Komplementarität und Logik. In: Die Naturwissenschaften 42, 1955, S. 521–529 u. 545–555.
  19. Peter Mittelstaedt: Quantenlogik. In: Fortschritte der Physik 9, 1961, S. 106–147.
  20. Am Ende seines letzten Buches Philosophical Foundations of Physics (New York 1966, dt. Ausgabe Einführung in die Philosophie der Naturwissenschaft. München 1969, 2. Aufl. 1974, ISBN 3-485-03036-8, hier S. 286) äußert sich Carnap zu den Arbeiten von Birkhoff und von Neumann: „Hier berühren wir tiefliegende, noch ungelöste Probleme. […] Es ist schwer vorherzusagen, wie die Sprache der Physik sich ändern wird. Aber ich bin überzeugt, dass zwei Tendenzen, die im Verlaufe des letzten halben Jahrhunderts zu großen Verbesserungen in der Sprache der Mathematik geführt haben, in gleicher Weise die Sprache der Physik schärfen und klären werden; die Anwendung der modernen Logik und Mengenlehre und die Verwendung der axiomatischen Methode in ihrer modernen Form, die eine formalisierte Sprache voraussetzt. In der Physik von heute, in der […] die ganze Begrifflichkeit der Physik diskutiert wird, könnten beide Methoden sich als äußerst nützlich erweisen.“
  21. Peter Mittelstaedt: Quantenlogik. In: Fortschritte der Physik 9, 1961, S. 106–147, hier S. 124–128; auch in der ersten Auflage von Peter Mittelstaedt: Philosophische Probleme der modernen Physik. Mannheim 1963, S. 127–133. Jetzt ausführlich in ders.: Quantum Logic. S. 48–98.
  22. Peter Mittelstaedt: Time dependent propositions and quantum logic. In: Journal of Phil. Logic 6, 1977, S. 463–472. Carl Friedrich von Weizsäcker: In welchem Sinne ist die Quantenlogik eine zeitliche Logik? In: Jürgen Nitsch, Joachim Pfarr, Ernst-Walther Stachow: Grundlagenprobleme der modernen Physik. Festschrift für Peter Mittelstaedt zum 50. Geburtstag. Mannheim 1981, ISBN 3-411-01600-0, S. 311–317.
  23. Zur Verfügbarkeit einer Primaussage siehe: Kuno Lorenz: Logik, dialogische. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 24.
  24. Peter Mittelstaedt: Philosophische Probleme der modernen Physik. Mannheim 1986.
  25. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 25.
  26. Weizsäcker: Die Einheit der Natur. München 1981, S. 246.
  27. Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 62.
  28. Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 96.
  29. A. Kamlah: Ist die Mittelstaedt-Stachowsche Quantendialogik eine analytische Theorie? In: Peter Mittelstaedt, Joachim Pfarr: Grundlagen der Quantentheorie. (= Grundlagen der exakten Naturwissenschaften. Band 1). Mannheim 1980, S. 73–92.
  30. a b Hilary Putnam: Is Logic Empirical? Boston Studies in the Philosophy of Science Vol. V, 1969.
  31. Peter Mittelstaedt: Relativistic Quantum Logic. In: Int. Journal of Theor. Physics 22, 1983, S. 293–314.
  32. Saul A. Kripke: Semantical Analysis of Logic I. Normal propositional Calculi. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 9, 1963, S. 67–96.
  33. B. C. van Fraassen: Meaning Relations and Modalities. In: Nous. 3, 1969, S. 155–167. M. L. Dalla Chiara: Quantum Logic and Physical Modalities. In: Journal of Philosophical Logic. 6, 1977, S. 391–404.
  34. Franz Josef Burghardt: Modalities and Quantum Mechanics. In: Int. Journal of Theor. Physics 23, 1984, S. 1171–1196, mit weiterer Literatur.
  35. Hans Lenk: Metalogik und Sprachanalyse. Freiburg 1973, ISBN 3-7930-0976-9, S. 112–147. Wolfgang Stegmüller: Hauptströmungen der Gegenwartsphilosophie. Stuttgart 1975, ISBN 3-520-30905-X, S. 208–220.
  36. Erhard Scheibe: Die kontingenten Aussagen der Physik. 1964.
  37. Ewald Richter: Quantenlogik. 1989.
  38. Walter Köster: Die Logik der Ganzheit – Wie Quantenlogik die Medizin verändert. Medicina Quantica de Espana, Marbella 2006.
  39. Brigitte Falkenburg: Language and Reality. Peter Mittelstaedts contribution to the Philosophy of Physics. In: Foundations of Physics 40, 2010, S. 1171–1188.
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