Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Quotienten von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}}$.

Aussage

Sind die Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle $x_{0}\in D$ mit $v(x_{0})\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion $f$ mit

$f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}$

an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

$f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}$.

Beispiele

• Die Funktion $f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}$ ist Quotient der Funktionen

$u(x)=x^{2}-1\quad$und $\quad v(x)=2-3x$,

welche differenzierbar sind mit

$u'(x)=2x\quad$ und $\quad v'(x)=-3$.

Für ${\textstyle x\neq 2/3}$ erhält man durch Anwendung der Quotientenregel

$f'(x)={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}={\frac {-3\cdot x^{2}+4\cdot x-3}{(2-3x)^{2}}}$.

• Die Ableitung des Tangens kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von Sinus und Kosinus bekannt ist. Aus der Beziehung $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ folgt für alle $\cos(x)\neq 0$ mit der Quotientenregel

$\tan '(x)={\frac {\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^{2}}}={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$.

Herleitung

Wenn $x$ um $\Delta x$ anwächst, ändert sich $u$ um $\Delta u$ und $v$ um $\Delta v$. Die Änderung des Quotienten $u/v$ beträgt damit

${\frac {u+\Delta u}{v+\Delta v}}-{\frac {u}{v}}$,

oder, indem man den Hauptnenner bildet,

${\frac {(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)}{(v+\Delta v)\cdot v}}={\frac {\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v}{v^{2}+\Delta v\cdot v}}.$

Dividiert man noch durch $\Delta x$, so erhält man den Differenzenquotienten von $u/v$ als

${\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}\cdot v-u\cdot {\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v^{2}+\Delta v\cdot v}}.$

Bildet man nun den Grenzübergang $\Delta x\to 0$, so erhält man schließlich die Ableitung

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}}.$

Beweise

Anhand des Differenzenquotienten

Ist $v$ an $x_{0}$ differenzierbar, so ist $v$ dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung $v(x_{0})\neq 0$ gibt es deshalb eine Umgebung $U$ von $x_{0}$, in der überall $v(x)\neq 0$ ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

${\frac {1}{x-x_{0}}}\left({\frac {u(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x_{0})}{v(x_{0})}}\right)={\frac {1}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {u(x)v(x_{0})-u(x_{0})v(x)}{v(x)v(x_{0})}}$

von $f(x)={\tfrac {u(x)}{v(x)}}$ wohldefiniert. Addition und Subtraktion des Terms $u(x_{0})v(x_{0})$ im Zähler des rechts stehenden Bruchs und elementare Termumformungen liefern die äquivalente Darstellung

${\frac {1}{v(x)v(x_{0})}}\left[{\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}v(x_{0})-u(x_{0}){\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\right]$.

Beim Grenzübergang $x\to x_{0}$ strebt der Differenzenquotient von $u$ gegen $u'(x_{0})$, der Differenzenquotient von $v$ gegen $v'(x_{0})$ und $v(x)v(x_{0})$ gegen $v(x_{0})^{2}$.

Mithilfe der Produkt- und Kehrwertregel

Für $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}$ gilt nach der Produktregel

$f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'$.

Mit der Kehrwertregel

$\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}$

folgt hieraus

$f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^{2}(x)}}$.

Siehe auch

• Kehrwertregel
• Produktregel
• Faktorregel
• Summenregel
• Kettenregel
• Umkehrregel

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Einführungsbuch zur Differentialrechnung erläutert. Einige Beispiele sind:

• Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235–236.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))

Weblinks

• Quotientenregel auf Wikibooks