Quotientenregel

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Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen und von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

an der Stelle differenzierbar und es gilt:

.

In Kurzschreibweise:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quotientenregel

Der Quotient kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

Dividiert man durch Δx, so folgt

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

wie behauptet.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendet man die Kurznotation so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion:

Ausmultipliziert ergibt sich

Weitere Herleitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei Nach der Produktregel gilt:

Nach der Kehrwertregel (ergibt sich z. B. direkt oder mit Hilfe der Kettenregel)

folgt:

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt dass existiert.

folglich:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]