Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen $u(x)$$u(x)$ und $v(x)$$v(x)$ von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x=x_{a}$$x = x_a$ mit $v(x_{a})\neq 0$$v(x_a)\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

an der Stelle $x_{a}$$x_{a}$ differenzierbar und es gilt:

$f'(x_{a})={\frac {u'(x_{a})\cdot v(x_{a})-u(x_{a})\cdot v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}$$f'(x_a) = \frac{u'(x_a)\cdot v(x_a) - u(x_a)\cdot v'(x_a)}{(v(x_a))^2}$.

In Kurzschreibweise:

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}$

Herleitung

Der Quotient $u(x) \over v(x)$$u(x) \over v(x)$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

${\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\end{aligned}}$

$={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$$= {{ \Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Dividiert man durch Δx, so folgt

${{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$${{{ \Delta \left( {u \over v} \right) } \over {\Delta x}}} = {{{ \Delta u \over \Delta x } \cdot v - u \cdot {\Delta v \over \Delta x} } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

${\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}$${{\left( {u \over v} \right) '}} = {{ u ' \cdot v - u \cdot v ' } \over { v^2 }}$

wie behauptet.

Beispiel

Verwendet man die Kurznotation $\left({\frac {u}{\color {Blue}v}}\right)'={\frac {u'\color {Blue}v\color {Black}-u\color {Blue}v'}{\color {Blue}v\color {Black}^{2}}}$$\left(\frac{u}{\color{Blue}v}\right)' = \frac{u'\color{Blue}v \color{Black}- u \color{Blue}v'}{\color{Blue}v\color{Black}^2}$ so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{2}-1}{\color {Blue}2-3x}}\\f'(x)&={\frac {2x\cdot \color {Blue}(2-3x)\color {Black}-(x^{2}-1)\cdot \color {Blue}(-3)}{(\color {Blue}2-3x\color {Black})^{2}}}\\\end{aligned}}$$\begin{align} f(x) & = \frac{x^2-1}{\color{Blue}2-3x}\\ f'(x) & = \frac{2x\cdot \color{Blue}(2-3x)\color{Black}-(x^2-1)\cdot \color{Blue}(-3)}{(\color{Blue}2-3x\color{Black})^2}\\ \end{align}$

Ausmultipliziert ergibt sich $f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}$$f'(x) = \frac{-3x^2+4x-3}{(2-3x)^2}$

Weitere Herleitungen

Gegeben sei $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}.$ Nach der Produktregel gilt:

${\begin{aligned}f'(x)&=\left(u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}\right)'\\&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}$${\begin{aligned}f'(x)&=\left(u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}\right)'\\&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}$

Nach der Kehrwertregel (ergibt sich z.B. direkt oder mit Hilfe der Kettenregel)

$\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}.$$\left( \frac1{v(x)} \right)' = - \frac{v'(x)}{v^2(x)}.$

folgt:

${\begin{aligned}f'(x)&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}f'(x)&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung $f(x)\cdot v(x)=u(x)$$f(x)\cdot v(x) = u(x)$. Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass $f(x)$$f(x)$ überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt dass $f'(x)$$f'(x)$ existiert.

$f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)$$f'(x)\cdot v(x) + f(x)\cdot v'(x) = u'(x)$

folglich:

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2, S. 155-157 (Auszug (Google))
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270-271 (Auszug (Google))

Weblinks

• Quotienregel auf Wikibooks