Rademacher-Verteilung

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Die Rademacher-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rademacher-Verteilung ist definiert auf und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist dann

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert und andere Lagemaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert einer Rademacher-verteilten Zufallsvariablen ist

.

Der Median ist

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rademacher-Verteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe ist

.

Exzess und Wölbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Exzess der Rademacher-Verteilung ist

.

Damit ist die Wölbung

.

Höhere Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -ten Momente sind

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie ist

gemessen in Bit.

Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

.

Damit ist die erste Ableitung

und daher die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Zweipunktverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit .

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rademacher-Verteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf .

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sowohl die Bernoulli-Verteilung mit als auch die Rademacher-Verteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomial-Verteilung und dem Random Walk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind unabhängige Rademacher-verteilte Zufallsvariablen, so ist

genau der symmetrische Random Walk auf . Demnach ist

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplace-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist Rademacher-verteilt, und ist exponentialverteilt zum Parameter , so ist Laplace-verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter .