Radiale Verteilungsfunktion

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Die radiale Verteilungsfunktion (Abkürzung rdf) mit dem Formelzeichen zwischen zwei Teilchensorten A und B beschreibt die Häufigkeit, mit der man ein Teilchen der Sorte B im Abstand von einem Teilchen der Sorte A findet, bezogen auf die Häufigkeit, dass zwei Teilchen eines idealen Gases in diesem Abstand vorliegen. Die radiale Verteilungsfunktion ist somit dimensionslos.[1]

Bestimmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung 1: Schema zur Bestimmung der rdf

Zur Bestimmung der radialen Verteilungsfunktion zählt man wie in Abbildung 1 die Zahl der Teilchen der Sorte B (blau) in der Kugelschale mit Radius und Dicke um ein Teilchen der Sorte A (dunkelrot). Dadurch erhält man ein Histogramm. Normiert man dieses Histogramm entsprechend, erhält man die radiale Verteilungsfunktion. Bei Molekulardynamik oder Metropolis-Importance-Sampling gilt folgende Formel: . Hierbei wird der Histogrammeintrag, welcher dem Abstand zugeordnet ist, durch das Bin-Volumen , sowie die Zahl der Stichproben () geteilt, wodurch man eine mittlere Dichte im Bin erhält. Diese mittlere Dichte wird anschließend mit der Dichte eines idealen Gases verglichen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im NVT-Ensemble kann die radiale Verteilungsfunktion auch aus der 2N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte ( Orte und Geschwindigkeiten)

für eine Hamiltonfunktion erhalten werden.

Durch Abintegrieren von Orten und allen Geschwindigkeiten aus der 2N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man zunächst die 2-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte

Diese normiert man mit , wobei die mittlere Teilchenzahldichte ist:

Im Thermodynamischen Limes gilt:

.

In einem homogenen System ist

Paarverteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Radiale Verteilungsfunktion einer Lennard-Jones-Flüssigkeit. Die radiale Verteilungsfunktion nimmt um praktisch den Wert 0 an, da die Teilchen mit einem Lennard-Jones-Potential wechselwirken und somit praktisch nicht überlappen können.

Die Paarverteilungsfunktion (auch Paarkorrelationsfunktion) hängt nicht nur vom Abstand ab, sondern wegen (Kugelkoordinaten) auch von den Winkeln und . Die (statische) Paarkorrelationsfunktion ist gegeben durch:

Dieses Ergebnis erhält man aus der Berechnung der (kollektiven) Van-Hove-Korrelationsfunktion [2], indem man die Definition der Dichte einsetzt, über abintegriert und anschließend bei auswertet. Dabei ist zu beachten, dass

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mithilfe der radialen Verteilungsfunktion kann man durch Fouriertransformation den Strukturfaktor bestimmen.

Die radiale Verteilungsfunktion spielt in der Kirkwood-Buff-Theorie eine wichtige Rolle.

In einem homogenen System[3] gibt die Paarkorrelationsfuktion das „Potential of mean force an, welches durch die Zuweisung definiert wird (mit der Boltzmann-Konstanten ).

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, Google Books
  2. mit ,
  3. In homogenen Systemen gilt: . Wählt man , so erhält man