Radiant (Einheit)

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Physikalische Einheit
Einheitenname Radiant
Einheitenzeichen \mathrm{rad}
Physikalische Größe(n) Ebener Winkel
Formelzeichen \alpha, \beta, \gamma ...
Dimension \mathsf{\frac{L}{L} = 1}
System Internationales Einheitensystem
In SI-Einheiten \mathrm{1 \, rad = 1 \, \frac{1 \; m}{1 \; m} = 1}
Benannt nach lateinisch radius, „Strahl“
Siehe auch: Winkelmaße

Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, im SI-Einheitensystem eine abgeleitete Einheit. Die Einheit kann mit SI-Präfixen kombiniert werden, z. B. mrad für Milliradiant.[1]

Der Winkel, der auf dem Kreisumfang die Länge des Radius markiert, beträgt 1 rad, der Vollwinkel also 2\pi rad.

Ein Winkel in rad oder im Bogenmaß ist die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis. Die Bogenlänge skaliert mit dem Radius r. Auf einem Kreis mit 5 cm Radius markiert ein Winkel von 1 rad also einen 5 cm langen Bogen. Da der Vollkreis (360°) die Bogenlänge U = 2 \pi r hat, beträgt der Vollwinkel 2 \pi rad.

In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß, siehe etwa Winkelgeschwindigkeit und Sinus und Kosinus.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die dimensionslose, kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m. Aufgrund dieser Eigenschaften kann er in Rechnungen auch einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. Durch das nicht notwendige, aber bewusst vorgenommene Hinzufügen des Einheitenzeichens rad in Größenwerten lässt sich in manchen Fällen darauf hinweisen, welche physikalische Größe gemeint ist, ohne sie namentlich anzugeben.

Umrechnung zwischen Radiant und Grad[Bearbeiten]

Häufig benötigte Werte:
Grad Radiant
180^\circ \pi \approx 3{,}1416
90^\circ \frac12 \pi \approx 1{,}5708
45^\circ \frac{1}{4} \pi \approx 0{,}7854
57^\circ\, 17'\, 45'' \approx 1
57{,}29577951^\circ
1^\circ \frac{\pi}{180} \approx 17{,}45\,\text{mrad}
3{,}44' 1\,\text{mrad} = 0{,}001
1'' 4{,}85\,\mu \text{rad}

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Grad oder in Radiant, manchmal zusätzlich auch in Gon. Die Modi zur Berechnung heißen auf den meisten Taschenrechnern „DEG“ (von englisch degree für Grad), „RAD“ bzw. GRA (oder D R G).

Winkelfunktionen in mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen und in Programmen zur Tabellenkalkulation verwenden stets das Bogenmaß; Gradangaben müssen umgerechnet werden. Der Vollwinkel hat 2 \pi Radiant oder 360 Grad, daher gilt:


2\pi\,\mathrm{rad} = 360^\circ

1\,\mathrm{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}29577951^\circ

oder:


1^\circ = \frac{2\pi}{360}\,\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad} \approx 0{,}017453293\,\mathrm{rad}

Der Faktor für die Umrechnung von Radiant auf Grad ist also \frac{180^\circ}{\pi} \ \left(= 1\,\mathrm{rad} = 1\right)

Beispiele:

  • \alpha = \frac{3}{2}\,\pi\,\mathrm{rad} = \frac{3}{2}\,\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3}{2} \cdot 180^\circ = 270^\circ
  • \beta = 45^\circ = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{\displaystyle 180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}

Historisches[Bearbeiten]

Im SI war zunächst offengelassen worden, ob Radiant und Steradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen. 1980 empfahl das CIPM, diese ergänzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20. CGPM und beschloss in Resolution 8 die Aufhebung der Klasse der ergänzenden Einheiten.

Quellen[Bearbeiten]

  1. BIPM – SI-Broschüre, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 2.2.2, Tabelle 3: Kohärente abgeleitete SI-Einheiten mit besonderen Namen und Symbolen.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Radiant – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien