Rand (Topologie)

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Ein Gebiet (hellblau) und sein Rand (dunkelblau).

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Begriff Rand eine Abstraktion der anschaulichen Vorstellung einer Begrenzung eines Bereiches.

Definition[Bearbeiten]

Definitionsgemäß ist der Rand einer Teilmenge U eines topologischen Raumes X die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem von U. Der Rand einer Menge U wird üblicherweise mit \partial U bezeichnet, also:

(*) \partial U = \overline{U} \setminus U^\circ = \overline{U} \cap \overline{(X \setminus U)}.

Die Punkte aus \partial U werden Randpunkte genannt.

Erläuterung[Bearbeiten]

Jeder Randpunkt von U ist auch Berührungspunkt von U und jeder Berührungspunkt von U ist Element von U oder Randpunkt von U. Die Berührungspunkte von U zusammen bilden den Abschluss von U. Es ist also

(**) \overline{U} = U \cup  \partial U\,.

Zu jeder Teilmenge U \subseteq X zerfällt der topologische Raum X in das Innere von U, den Rand von U und das Äußere von U:

 X   = U^\circ \; \dot{\cup} \; \partial U \; \dot{\cup}\; ({X \setminus U})^\circ\,.

Abgrenzung[Bearbeiten]

Damit verwandte aber abweichende Randbegriffe gibt es in der algebraischen Topologie und in der Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.
  • Der Rand einer Menge U besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus U als auch Punkte, die nicht in U liegen, enthält.
  • Der Rand einer Menge ist stets gleich dem Rand ihres Komplements.
  • Der Rand einer Menge ist der Schnitt des Abschlusses der Menge mit dem Abschluss ihres Komplementes.
  • Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.
  • Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist.
  • Eine Menge ist genau dann offen und abgeschlossen, wenn ihr Rand leer ist.
  • Es seien X ein topologischer Raum, Y\subseteq X eine offene Teilmenge mit der Teilraumtopologie und U\subseteq X eine Teilmenge. Dann ist der Rand von Y\cap U in Y gleich dem Schnitt von Y mit dem Rand von U in X. Lässt man die Voraussetzung der Offenheit von Y fallen, so gilt die entsprechende Aussage selbst dann nicht, wenn U eine Teilmenge von Y ist, wie das Beispiel X=\mathbb R, U=Y=\{0\} zeigt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist U eine offene oder abgeschlossene Kreisscheibe in der Ebene \mathbb R^2, so ist der Rand von U die zugehörige Kreislinie.
  • Der Rand von \mathbb Q als Teilmenge von \mathbb R ist ganz \mathbb R.

Randaxiome[Bearbeiten]

Für einen topologischen Raum X ist das Bilden des Randes ein Mengenoperator auf \mathcal P(X) = \{ U \mid U \subseteq X \}, der Potenzmenge von X. Dieser erfüllt für U \subseteq X und V \subseteq X stets die folgenden vier Regeln, die sogenannten Randaxiome:[1][2]

(R1)    U   \cap  V  \cap \partial (U \cap V)   = U   \cap  V  \cap (\partial U \cup \partial V )
(R2)    \partial U   = \partial (X  \setminus U)
(R3)    \partial { \partial U }   \subseteq  \partial U
(R4)    \partial{\emptyset}   = \emptyset

Durch die vier Regeln (R1) - (R4) ist die Struktur des topologischen Raum X eindeutig festgelegt. Der mittels (**) gegebene Mengenoperator auf \mathcal P(X) ist ein Abschlussoperator im Sinne der Kuratowskischen Hüllenaxiome und so in Verbindung mit (*) umkehrbar eindeutig mit dem Randoperator  U \mapsto  \partial U verknüpft.

Dabei gilt für das Mengensystem \mathcal \tau(X) , also die Menge der offenen Mengen von X:

\mathcal \tau(X) = \{U \subseteq X \mid {U \cap \partial U} = \emptyset\}

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Vaidyanathaswamy: S. 57 - 58.
  2.  Schubert: S. 16.