Rang einer abelschen Gruppe

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Der Rang einer abelschen Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er ist ein Maß für die Größe einer abelschen Gruppe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine abelsche Gruppe stimmen die folgenden Zahlen überein:

  • die Kardinalität einer maximalen -linear unabhängigen Teilmenge
  • die Dimension des -Vektorraums (siehe Tensorprodukt).

Diese Zahl heißt Rang von .

Beispiele und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Rang von für eine natürliche Zahl ist gleich ; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe auf einer Menge gleich der Kardinalität von .
  • Die Gruppe hat Rang n.
  • Eine abelsche Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
  • Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist
eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von gleich der Summe der Ränge von und .