Rationale Abbildung

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Sind und zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von nach . Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring . Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus werden als rationale Funktionen auf bezeichnet.

Ist und , so wird regulär in genannt, wenn existieren mit:

Ist , so wird die Menge der Elemente, in denen regulär ist, als Definitionsbereich von , als , bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien und Varietäten über einem Körper . Eine rationale Abbildung von nach ist ein Tupel

mit und für alle

Die Abbildung heißt in regulär, falls alle in regulär sind. Der Definitionsbereich von ist

Eine rationale Abbildung von nach ist also nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge .

Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:

Dominante rationale Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

also

denn

Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

heißt dominant, wenn eine in dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine birationale Abbildung

ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung

gibt mit

und

Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.

Zusammenhang mit Körperhomomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

eine rationale Abbildung. sei durch das Ideal definiert. Wegen

gilt für alle

Ist also

also

so ist wohldefiniert. Eine rationale Abbildung induziert daher eine Abbildung

Ist

so ist das äquivalent zu

Ist dominant, so muss in diesem Fall sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:

ist injektiv ist dominant.

In diesem Fall induziert einen -linearen Körperhomomorphismus

Umgekehrt lässt sich zu jedem -linearen Körperhomomorphismus

eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung

finden mit

Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun und affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.

Sind offene Mengen und und Morphismen von beziehungsweise nach .

Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert: ist äquivalent zu , wenn und auf übereinstimmen.

Eine rationale Abbildung

ist nun eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.

Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant ein dichtes Bild hat.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neilsche Parabel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Neilsche Parabel, die durch das Polynom

definiert ist. Der Morphismus

ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf lässt sich durch

eine rationale Abbildung definieren mit

für die gilt:

und .

Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.

Projektion im projektiven Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Projektion

ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt

nicht regulär.

Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt

nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist

und

Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als

Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]