Rationale Zahl

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Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) bezeichnet. Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen. Die rationalen Zahlen werden – insbesondere in der Schulmathematik – auch als Bruchzahlen bezeichnet, während der Ausdruck Bruch (Dezimalbruch, Binärbruch, gewöhnlicher Bruch, gemischter Bruch …) für bestimmte Schreibweisen einer rationalen Zahl verwendet wird.

Definition

Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus der Menge der negativen rationalen Zahlen, der Zahl Null und der Menge der positiven rationalen Zahlen. Die Definition der rationalen Zahlen basiert auf der Darstellung rationaler Zahlen durch Brüche, also Paare ganzer Zahlen. Sie ist so aufgebaut, dass das Rechnen mit rationalen Zahlen wie gewohnt mit Hilfe ihrer Bruchdarstellungen durchgeführt werden kann, abstrahiert aber zugleich die rationale Zahl von ihren Bruchdarstellungen. Die rationalen Zahlen werden dabei nicht als vollkommen neue Dinge postuliert, sondern auf die ganzen Zahlen zurückgeführt.

Die Definition beginnt mit der Menge aller geordneten Paare ganzer Zahlen mit . Wichtig: Diese Paare sind nicht die rationalen Zahlen.

Man definiert Addition und Multiplikation auf dieser Menge wie folgt:

Das sind die bekannten Rechenregeln der Bruchrechnung. Die Zahlenpaare kann man damit als Brüche auffassen.

Ein Ziel der Definition rationaler Zahlen ist, dass zum Beispiel die Brüche und dieselbe „Zahl“ bezeichnen. Man betrachtet also Brüche, die untereinander äquivalent (von gleichem Wert) sind. Dies wird ausgedrückt durch eine Äquivalenzrelation, die man wie folgt definiert:

.

Wichtig ist, dass diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, also die Gesamtmenge in Teilmengen (hier Äquivalenzklassen genannt) untereinander äquivalenter Elemente zerlegt; dies kann man beweisen.

Für die Äquivalenzklassen definiert man wieder Rechenregeln, die auf der Bruchrechnung basieren und dafür sorgen, dass das, was man unter einer rationalen Zahl versteht, von der konkreten Bruchdarstellung abstrahiert wird. Die Addition der Äquivalenzklassen , und wird wie folgt definiert:

Aus wählt man ein beliebiges Element, also ein geordnetes Paar ganzer Zahlen (man wählt also ein einziges Element von und nicht etwa zwei). Ebenso wählt man aus das Element .

und addiert man nun gemäß der Bruchrechnung und erhält ein Paar . Dieses ist Element einer Äquivalenzklasse , welche das Ergebnis der Addition ist.

Wichtig ist, dass unabhängig von der konkreten Wahl von und stets dasselbe Ergebnis, die Äquivalenzklasse , herauskommt; diese Eigenschaft der Addition muss und kann bewiesen werden.

Analog wird die Multiplikation definiert.

Die Äquivalenzklassen fasst man nun als Elemente einer neuen Menge auf und nennt sie rationale Zahlen. Eine einzelne rationale Zahl ist also eine unendliche Menge von geordneten Paaren . Eine Schreibweise wie bezeichnet also in diesem Sinne die Äquivalenzklasse aller zu äquivalenten Paare.

Man kann dies auch als Zahlbereichserweiterung der ganzen Zahlen auffassen, indem man die ganze Zahl jeweils mit der rationalen Zahl identifiziert. Sind und zwei ganze Zahlen und , deren Summe und Produkt, so sind die Rechenregeln für Brüche gerade so gestaltet, dass und gilt. Außerdem ist vermöge dieser Identifikation ein Bruch in der Tat der Quotient von Zähler und Nenner.

Eigenschaften

Die rationalen Zahlen enthalten eine Teilmenge, die zu den ganzen Zahlen isomorph ist (wähle zu die Bruchdarstellung ). Dies wird oft vereinfachend so ausgedrückt, dass die ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten seien.

Die rationalen Zahlen bilden einen starren[1] Körper. ist der kleinste Teilkörper des Körpers der reellen Zahlen, also sein Primkörper.

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie algebraisch ersten Grades ist. Damit sind die rationalen Zahlen selbst eine Teilmenge der algebraischen Zahlen .

Man kann zeigen, dass der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen enthält. ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen .

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl (anschaulich: jeder Punkt auf der Zahlengerade) kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden.

Trotz der Dichtheit von in kann es keine Funktion geben, die nur auf den rationalen Zahlen stetig ist (und damit auf allen restlichen irrationalen Zahlen unstetig – umgekehrt geht das schon).

Zwischen (im Sinne der unten definierten #Ordnungsrelation) zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist. Mit anderen Worten gibt es bijektive Abbildungen zwischen und , die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweisen und umgekehrt. Cantors erstes Diagonalargument und der Stern-Brocot-Baum liefern solche bijektiven Abbildungen. Die Eigenschaft, gleichmächtig zu einer echten Teilmenge von sich selbst zu sein, ist charakteristisch für unendliche Mengen.

Ordnungsrelation

Man definiert

mit den bekannten auf der Anordnung der ganzen Zahlen beruhenden Vergleichszeichen und Funktionen und Mit ergibt sich sofort, dass in mit in kompatibel ist, so dass dasselbe Zeichen verwendet werden kann.

Sind zwei Paare äquivalent, dann ist weder

    noch    

Die Trichotomie der Ordnung besagt:

Es gilt genau eine der folgenden Beziehungen:

Damit sind die rationalen Zahlen eine total geordnete Menge.

Divisionsalgorithmen

Eine rationale Zahl in Gestalt des geordneten Paares Zähler/Nenner stellt eine nicht ausgeführte Division dar. Die rationale Zahl ist dadurch zwar exakt und ohne Genauigkeitsverlust beschrieben und in der reinen Mathematik ist man häufig damit zufrieden. Aber schon das Vergleichen zweier rationaler Zahlen fällt wesentlich leichter, wenn die Division zumindest teilweise als Division mit Rest ausgeführt ist, was ggf. zur gemischten Zahl führt.

Als vollständig ausgeführt betrachtet wird eine Division dann, wenn die rationale Zahl in einem Stellenwertsystem zu einer bestimmten Basis entwickelt ist. Hierfür sind unterschiedlichste Algorithmen entworfen worden, die sich grob in drei Gruppen einteilen lassen:

  • Schriftliche Division als Algorithmus für die manuelle Rechnung
  • Algorithmen für den Einsatz in Computern
  • Algorithmen für Ganzzahlen fester (und kleiner) Länge
  • Algorithmen für Ganzzahlen beliebiger Länge

Beispiele für die letzteren sind

Die letzteren beiden Verfahren bilden zuerst eine Art Kehrwert des Nenners, der dann mit dem Zähler multipliziert wird. Alle Verfahren eignen sich auch für kurze Divisionen und werden dort auch eingesetzt. Die SRT-Division wurde bspw. in der Divisionseinheit des Pentium-Prozessors von Intel zunächst fehlerhaft implementiert.

Dezimalbruchentwicklung

Jeder rationalen Zahl lässt sich eine Dezimalbruchentwicklung zuordnen. Rationale Zahlen besitzen eine periodische Dezimalbruchentwicklung, irrationale dagegen eine nichtperiodische (was auch für die -adischen Bruchentwicklungen zu anderen ganzzahligen Zahlenbasen gilt), wobei eine endliche (also abbrechende) Dezimalbruchentwicklung nur ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung ist, indem sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder 9 periodisch wiederholt. Die Periode (der sich wiederholende Teil) wird mit einem Überstrich kenntlich gemacht.

Beispiele sind:

In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben.

Nach dem Satz von Euler gilt für einen Nenner und eine zu ihm teilerfremde Basis

mit der eulerschen Phi-Funktion . Die Periodenlänge von ist die Ordnung der Restklasse in der Einheitengruppe des Restklassenringes modulo . Nach dem Satz von Lagrange ist ein Teiler der Gruppenordnung und daher nicht größer als diese. Die Zahl

ist ganz, positiv und , und ihre zur Basis entwickelten Ziffern wiederholen sich ständig in der -adischen Darstellung von , also:

Das obige Beispiel 1/3 hat bei der Basis die Periodenlänge und die Ziffernfolge sowie bei der Basis die Periodenlänge und die Ziffernfolge .

Die größtmögliche Periodenlänge tritt genau dann auf, wenn die Basis eine Primitivwurzel des Nenners ist. Der untenstehenden Tabelle gibt einen Eindruck, dass und wie häufig diese volle Periodenlänge vorkommt. Bspw. haben die Dezimalbruchentwicklungen der Kehrwerte der Primzahlen die (volle) Periodenlänge .[2] Die worst case Periodenlänge ist in , während die (zum Vergleich ebenfalls in der Tabelle angegebene) Länge der Zahl im -adischen Zahlsystem in liegt. Der Kehrwert 1/802787 der Primzahl 802787 benötigt im Dualsystem mindestens 802786 Bits und im Dezimalsystem mindestens 401393 Zeichen – zu viele, um sie beispielhaft anzuzeigen.

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 802787
2 4 6 6 10 12 8 16 18 12 22 20 18 28 30 20 24 36 802786
2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 20
2 4 3 6 10 12 4 8 18 6 11 20 18 28 5 10 12 36 802786
2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 13
4 6 5 3 16 18 11 20 28 30 12 18 401393
1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 9
2 6 6 5 4 16 9 6 22 18 14 3 10 36 802786
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6
1 6 1 2 6 16 18 6 22 3 28 15 2 3 401393

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: rationale Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Rationale Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 40–41.
  2. Auch zusammengesetzte Zahlen haben prime Restklassengruppen , die zyklisch sind. Beispiel: mit . Ist , dann gibt es stets auch mit .