Rechteckfunktion

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Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als: [1]

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion ausgedrückt werden als:

.

Dabei ist gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion :

Das gilt auch für . Umgekehrt ist

.

Hier ist es wichtig, die erste Definition der Rechteckfunktion zu verwenden, für ist die letzte Gleichung falsch.

Verschiebung und Skalierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Rechteckfunktion, die bei zentriert ist und eine Dauer von hat, wird ausgedrückt durch

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ möglich:

Weitere Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit Faltungen

ergibt für mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2.