Reduzierte Masse

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Die reduzierte Masse ist eine fiktive Masse, die unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften einer oder mehrerer Einzelmassen eines Systems repräsentiert.

Astronomie, Teilchenbewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn sich zwei Körper mit Massen und unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei verhält sich das leichtere Teilchen im relativen Abstand zum schwereren Teilchen wie ein Teilchen, das die durch

charakterisierte reduzierte Masse[1]

hat. Je nach Masse des schwereren Körpers () hat die reduzierte Masse Werte zwischen und . In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers sehr stark (). Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens:

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben abgekürzt.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte und der beiden Körper:
  • Addiert man diese zwei Gleichungen, so erhält man für den Schwerpunkt
mit der Massensumme die Bewegungsgleichung
eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig gleichförmig:
  • Subtrahiert man die, durch die jeweilige Masse dividierten, Bewegungsgleichungen der Teilchen, so erhält man
als Bewegungsgleichung für den relativen Ortsvektor . Dieser bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse unter dem Einfluss der Kraft .

Drehimpuls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein System aus zwei Teilchen kann mithilfe der reduzierten Masse der Drehimpuls im Schwerpunktsystem angegeben werden als

bezeichnen hier jeweils den Ortsvektor bzw. den Impuls des Teilchens bezogen auf den Schwerpunkt.
bezeichnen hier jeweils den relativen Abstand bzw. die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen.

Auf den Schwerpunkt bezogen ist der Drehimpuls eines Gesamtsystems von zwei Teilchen genau so groß wie der Drehimpuls eines Teilchens mit dem Impuls und dem Ortsvektor .[2]

Technische Mechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Punktmasse die im Abstand um eine Achse rotiert, kann auf einen anderen Abstand umgerechnet werden. Die reduzierte Masse hat das gleiche Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse wie die ursprüngliche Masse. Mit der Übersetzung

berechnet sich die reduzierte Masse zu:

Anwendung z. B. in der Schwingungslehre.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. C. Czeslik, H. Seemann, R. Winter: Basiswissen Physikalische Chemie. 4. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0937-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. W.Demtröder: Experimentalphysik 1. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-46415-1.