Reelle Form

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Der Begriff reelle Form wird in der Mathematik verwendet, um über den reellen und komplexen Zahlen definierte Objekte, insbesondere algebraische Strukturen, miteinander in Beziehung zu setzen. Er wird vor allem in der Theorie der Lie-Algebren und Lie-Gruppen gebraucht.

Eine reelle Lie-Algebra ist eine reelle Form einer komplexen Lie-Algebra , wenn die Komplexifizierung von ist, also

.

Allgemein lässt sich analog eine reelle Form eines komplexen Vektorraumes durch die Bedingung definieren. Ein komplexer Vektorraum hat unendlich viele reelle Formen, zum Beispiel sind oder reelle Formen von .

Eine reelle Form einer komplexen Lie-Gruppe ist eine Untergruppe, deren Lie-Algebra eine reelle Form der Lie-Algebra der komplexen Lie-Gruppe ist.

Halbeinfache Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede halbeinfache komplexe Lie-Algebra hat mindestens zwei reelle Formen .

Die eine der beiden reellen Formen ist eine kompakte Lie-Algebra, d.h. die Killing-Form ist negativ definit.

Die andere der beiden reellen Formen ist eine spaltbare Lie-Algebra, d.h. es gibt eine Cartan-Unteralgebra , so dass für alle die adjungierte Abbildung diagonalisierbar ist.

Im Allgemeinen kann noch weitere reelle Formen haben.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Liste nennt zu einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra erst die kompakte, dann die spaltbare reelle Form.

  • (wobei die Lie-Algebra der kompakten symplektischen Gruppe bezeichnet)

Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reelle Formen einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra werden durch Satake-Diagramme klassifiziert, gewisse Verfeinerungen des Dynkin-Diagramms von .

Darstellungstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die komplexen Darstellungen von entsprechen 1:1 den komplexen Darstellungen von : man erhält alle Darstellungen von durch Einschränkung der Darstellungen der komplexifizierten Lie-Algebra. Zum Beispiel ist die Darstellungstheorie von äquivalent zur Darstellungstheorie der sl(2,C).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bourbaki, Nicolas: VIII: Split Semi-simple Lie Algebras, Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras. (Kapitel 7–9)
  • Onishchik, A. L.; Vinberg, Ėrnest Borisovich: Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras (Kapitel 4.4: "Split Real Semisimple Lie Algebras")

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]