Reflexive Relation

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Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt (also kein Element in Relation zu sich selbst steht).

Die Art des Gegensatzes von reflexiv und irreflexiv ist konträr aber nicht kontradiktorisch, denn es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Menge und eine zweistellige Relation auf , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

ist reflexiv :
ist irreflexiv :

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexiv[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Kleiner-Gleich-Relation auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation .
  • Die gewöhnliche Gleichheit auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
  • Die Teilmengenbeziehung zwischen Mengen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

Irreflexiv[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation .
  • Die Ungleichheit auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie gilt.

Weder reflexiv noch irreflexiv[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:
        
    (Begründung: Für gilt , für gilt .)

Darstellung als gerichteter Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede beliebige Relation auf einer Menge kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von . Vom Knoten zum Knoten wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn gilt.

Die Reflexivität von lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten gibt es eine Schleife  . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten eine Schleife gibt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mit Hilfe der identischen Relation (die aus allen Paaren besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:
    ist reflexiv
    ist irreflexiv
  • Ist die Relation reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation . Beispiele: die zu konverse Relation ist , die zu konverse ist .
  • Ist die Relation reflexiv, dann ist die komplementäre Relation irreflexiv. Ist irreflexiv, dann ist reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch
    .
  • Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]