Regel von de l’Hospital

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Mit der Regel von de l’Hospital[1][2] (gesprochen [lopi'tal], auch L’Hôpital[3] geschrieben, oder als l’Hospitalsche Regel oder Satz von L’Hospital bezeichnet) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen. Eine analoge Aussage für Folgen anstatt von Funktionen ist der Satz von Stolz-Cesàro.

Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661–1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann Bernoulli gekauft[4].

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Regel von de l’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert von Funktionen selbst dann noch zu bestimmen, wenn deren Funktionsterm beim Erreichen der betreffenden Grenze einen unbestimmten Ausdruck wie etwa

liefert. Alle Anwendungen der Regel lassen sich dabei auf die Grundaufgabe zurückführen, den Grenzwert zu bestimmen, wenn dessen Zähler- und Nennerterm und entweder beide null oder beide unendlich werden, der Quotient also ein unbestimmter Ausdruck des Typs oder ist. Die Regel von de l’Hospital besagt dann, dass, falls der Grenzwert existiert, dieser zugleich der Grenzwert sei, wobei und hier die ersten Ableitungen der Funktionen und sein sollen.

Die Umkehrung der Regel dagegen gilt nicht: Daraus, dass der Grenzwert existiert, folgt nicht zwingend, dass auch existiert. Liefert deshalb die Berechnung von zunächst einmal wieder einen unbestimmten Ausdruck, müssen Zähler- und Nennerterm erneut abgeleitet werden, bis sich schließlich, ggf. nach endlich vielen Wiederholungen, ein bestimmter Ausdruck ergibt.

Liefert die Ausgangsfunktion einen anderen als die og. unbestimmten Ausdrücke bzw. , z. B. oder , muss sie zuvor so umgeformt werden, dass sie die og. Kriterien erfüllt, also als Quotient zweier Funktionen erscheint, die beide gleichzeitig null oder unendlich werden [5]:

Beispiel 1
Beispiel 2

Präzise Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein nichtleeres offenes Intervall und seien differenzierbare Funktionen, die für ( geht von unten gegen ) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.

Wenn für alle gilt sowie für gegen einen Wert konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch . Analoges gilt, wenn man überall durch ( geht von oben gegen ) ersetzt.

Ist echte Teilmenge eines offenen Intervalls, auf dem die genannten Voraussetzungen erfüllt sind, gilt also insbesondere

.

Der Satz gilt auch für uneigentliche Intervallgrenzen .

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall lassen sich die Funktionen und an der Stelle durch stetig fortsetzen. Der Satz lässt sich damit auf den erweiterten Mittelwertsatz zurückführen, nach dem unter den gegebenen Voraussetzungen für jedes ein zwischen und existiert, so dass

.

Mit dem Grenzübergang folgt die Behauptung.

Durch Variablentransformation lässt sich der Satz auf den uneigentlichen Fall erweitern.

Anschauliche Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Näherung zweier Funktionen (durchgezogen) durch ihre Tangenten (gestrichelt)

Die Regel von de l’Hospital beruht ihrem Prinzip nach darauf, dass jedes an einer Stelle x0 differenzierbare Funktionspaar f(x) und g(x) sich damit ebenda auch durch ihr dortiges Tangentenpaar annähern lässt, dessen Gleichungen sich in allgemeinster Form (mit x0 als Parameter) wie folgt formulieren lassen:

und

In der Konsequenz muss gleiches dann auch für den Quotienten beider Funktionen f(x)/g(x) gelten, d.h. auch dieser sich für x→x0 durch den Quotienten fT(x|x0)/gT(x|x0) annähern lassen:

Werden in diesem Quotienten die beiden Konstanten f(x0) und g(x0) gleichzeitig Null, vereinfacht er sich, wie nachstehend gezeigt, sukzessive zu der gesuchten Näherung:

Vorausgesetzt, dass f(x0) und g(x0) an der Stelle x0 gleichzeitig Null werden, kann ihr Quotient f(x0)/g(x0) also ebenda gleichgut durch den Quotienten f'(x0)/g'(x0) ersetzt werden:

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzübergang bei x0=0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Dazu setzt man und . Es gilt

und .

Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, darf die Regel von de l’Hospital angewandt werden. Nun gilt

für .

Somit ist die Hospitalsche Regel anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von mit Grenzwert 0.

Grenzübergang im Unendlichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von . Man setzt und . Sowohl als auch sind bestimmt divergent.

Falls für konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von de l’Hospital angewandt werden. Nun gilt

für ,

das heißt, ist bestimmt divergent. Daher darf die Hospitalsche Regel angewandt werden. Aus ihr folgt die bestimmte Divergenz

.

Warnbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beachtung der Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und . Für liegt der Fall vor.

Die Regel von de l’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn ist für unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Hospitalschen Regel konvergiert für . Es ist nämlich .

Landau-Kalkül[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man den Grenzwert berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um kennt, ist es oft einfacher, den Grenzwert über den Landau-Kalkül zu bestimmen, als mehrfach die Regel von de l’Hospital anzuwenden.

So gilt beispielsweise für .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Regel lässt sich auch für Funktionen mit komplexen Variablen formulieren. Sind und zwei in holomorphe Funktionen, welche an der Stelle dieselbe Nullstellenordnung haben. Dann gilt

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Seite 190 in Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (= Grundkurs Mathematik). 12., verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11544-9, doi:10.1007/978-3-658-11545-6.
  2. S. 287 in: Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 11. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X.
  3. Seite 105 in Christiane Tretter: Analysis I (= Mathematik Kompakt). Birkhäuser, Basel 2013, ISBN 978-3-0348-0348-9, doi:10.1007/978-3-0348-0349-6.
  4. Seiten 442–443 in Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, doi:10.1007/978-3-642-17204-5.
  5. W.Gellert, H.Küstner, M.Hellwich, H.Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.408–410.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Beweis der Regeln von L’Hospital – Lern- und Lehrmaterialien