Regelfläche

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Regelfläche: Definition

In der Geometrie heißt eine Fläche Regelfläche, wenn gilt

  • durch jeden Punkt der Fläche geht eine Gerade, die ganz in der Fläche enthalten ist.

Einfache Beispiele sind Ebenen, Zylinder, Kegel und einschalige Hyperboloide. Bei einem einschaligen Hyperboloid gehen durch jeden Punkt sogar zwei Geraden. Allerdings gilt: Eine Regelfläche, bei der durch jeden Punkt drei Geraden gehen, kann nur eine Ebene sein [1].

Bei konkreten Regelflächen beschränkt man oft die Erzeugenden auf Strecken, um eine unendliche Ausdehnung (z. B. bei Zylindern oder Kegeln) oder Selbstdurchdingungen (z. B. bei Regelschraubflächen) zu vermeiden.

Im Begriff Regelfläche hat Regel – wie auch in Kippregel – die ursprüngliche Bedeutung des lateinischen regula (Stab, Lineal),[2] die heute noch im englischen rule oder dem französischen règle enthalten ist.

Regelflächen finden in der Architektur als leicht modellierbare Flächen Anwendung. Z.B. hat ein Kühlturm oft die Form eines einschaligen Hyperboloids. Im Metallgewerbe werden abwickelbare Regelflächen, wie z. B. Zylinder und Kegel, verwendet.(Das einschalige Hyperboloid ist nicht abwickelbar !) Abwickelbare Flächen haben den praktischen Vorteil, dass man sie aus ihren Abwicklungen aus Blech durch Aufwickeln herstellen kann (s. Abwicklung (Darstellende Geometrie)). Bei der geometrischen Modellierung werden Regelflächen z. B. zur Erzeugung von Coons-Flächen verwendet.

Definition und Parameterdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regelfläche erzeugt mit zwei Bezierkurven als Leitkurven (rot, grün)
Definition
Parameterdarstellung

Eine Regelfläche lässt sich durch eine Parameterdarstellung der Form

  • (CR)

beschreiben. Jede Flächenkurve mit festem Parameter ist eine Erzeugende (Gerade) und die Kurve ist die Leitkurve. Die Vektoren beschreiben das Richtungsfeld der Erzeugenden.

Die durch die Parameterdarstellung * beschriebene Regelfläche, kann man auch mit Hilfe der Kurve als zweite Leitkurve beschreiben:

  • (CD)

Umgekehrt kann man von zwei sich nicht schneidenden Kurven als Leitkurven ausgehen und erhält damit die Darstellung einer Regelfläche mit dem Richtungsfeld

Bei der Erzeugung einer Regelfläche mit Hilfe zweier Leitkurven (oder einer Leitkurve und eines Richtungsfeldes) ist nicht nur die geometrische Gestalt dieser Kurven von Bedeutung, sondern die konkrete Parameterdarstellung hat wesentlichen Einfluss auf die Gestalt der Regelfläche. Siehe Beispiele d)

Für theoretische Untersuchungen (s. u.) ist die Darstellung (CR) vorteilhaft, da der Parameter nur in einem Term vorkommt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regelflächen: Zylinder, Kegel

a) Senkrechter Kreiszylinder :


Hierbei ist

b) Senkrechter Kreiskegel :


Hier ist
Man hätte auch als Leitkurve , also die Spitze des Kegels, und als Richtungsfeld wählen können. Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wählen.

Wendelfläche als Regelfläche

c) Wendelfläche:

Die Leitkurve ist die z-Achse, das Richtungsfeld und die zweite Leitkurve ist eine Schraublinie.

Regelfläche: einschaliges Hyperboloid für

d) Zylinder, Kegel und Hyperboloide:
Die Parameterdarstellung


besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven. Der zusätzliche Parameter erlaubt es, die Parametrdarstellungen der Kreise zu variieren. Für

erhält man den Zylinder , für
erhält man den Kegel und für
erhält man ein einschaliges Hyperboloid mit der Gleichung und den Halbachsen .
Hyperbolisches Paraboloid

e) Hyperbolisches Paraboloid:

Falls die Leitlinien in (CD) die Geraden

sind, erhält man

.

Dies ist das hyperbolische Paraboloid, das die 4 Punkte bilinear interpoliert [3]. Für das Beispiel der Zeichnung ist

.

und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung .

Möbiusband

f) Möbiusband:

Die Regelfläche

mit

(die Leitkurve ist ein Kreis),

enthält ein Möbiusband.

Die Zeichnung zeigt das Möbiusband für .

Man rechnet leicht nach, dass ist (s. nächsten Abschnitt). D.h. diese Realisierung eines Möbiusbandes ist nicht abwickelbar. Es gibt allerdings auch abwickelbare Möbiusbänder.[4]

Tangentialebenen, abwickelbare Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die hier notwendigen Ableitungen wird stets vorausgesetzt, dass sie auch existieren.

Um den Normalenvektor in einem Punkt zu berechnen, benötigt man die partiellen Ableitungen der Darstellung  :

,

Da das Skalarprodukt ist (Ein Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren ist immer 0 !), ist ein Tangentenvektor in jedem Punkt . Die Tangentialebenen entlang dieser Gerade sind identisch, falls ein Vielfaches von ist. Dies ist nur möglich, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen, d. h. linear abhängig sind. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren kann man mit Hilfe der Determinante dieser Vektoren feststellen:

  • Die Tangentialebenen entlang der Gerade sind gleich, falls
Eine Erzeugende, für die dies gilt heißt torsal.
  • Eine Regelfläche ist genu dann in eine Ebene abwickelbar, wenn für alle Punkte die Gauß-Krümmung verschwindet. Dies ist genau dann der Fall, wenn
in jedem Punkt gilt [5], d. h., wenn jede Erzeugende eine Torsale ist. Eine abwickelbare Fläche heißt deswegen auch Torse.
Eigenschaften einer abwickelbaren Fläche [6]
  • Die Erzeugenden stellen eine Schar von Asymptotenlinien dar. Sie sind auch eine Schar von Krümmungslinien.
  • Eine abwickelbare Fläche ist entweder ein (allgemeiner) Zylinder oder ein (allgemeiner) Kegel oder eine Tangentenfläche (Fläche die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht).

Anwendung und Geschichte abwickelbarer Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verbindungstorse zweier Ellipsen und ihre Abwicklung

Die Determinantenbedingung für abwickelbare Flächen gibt einem eine Möglichkeit, eine Verbindungstorse zwischen zwei gegebenen Leitkurven numerisch zu ermitteln. Das Bild zeigt ein Beispiel einer Anwendung: Verbindungstorse zwischen zwei Ellipsen (eine horizontal, die andere vertikal) und ihre Abwicklung [7].

Einen Einblick in die Verwendung von abwickelbaren Flächen im CAD-Bereich findet man in Interactive design of developable surfaces[8]

Einen historischen Überblick über abwickelbare Flächen gibt Developable Surfaces: Their History and Application[9]

Weitere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Einhüllende einer einparametrigen Ebenenschar
  2. Hyperbolisches Paraboloid
  3. Oloid
  4. Catalansche Fläche
  5. Konoid
  6. Regelschraubflächen

Zusammensetzung von Regelflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann je zwei abwickelbare Regelflächen längs einer Geraden bzw. abschneiden und sie so zusammensetzen, dass aus und eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Fläche mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird.

Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelfläche ist die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar. Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar, wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein, ist es im Allgemeinen aber nicht.

Außermathematische Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regelflächen können nicht nur in der Mathematik, sondern auch außerhalb davon in Konstruktionen und Ingenieursarbeit verwendet werden. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Arbeit des Architekten/Mathematikers Antoni Gaudí. Das Gewölbe der La Sagrada Família beschreibt hierbei mehrere Hyperboloide, hyperbolische Paraboloide und Helikoide.[10][11]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfredo P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322854949, 9783322854940, S. 142,147
  • G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851, 9783662366851, S. 181
  • W. Kühnel: Differentialgeometrie, Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4
  • H. Schmidbauer: Abwickelbare Flächen: Eine Konstruktionslehre für Praktiker, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642473539, 9783642473531

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fuks, D. B.; Tabachnikov, Serge (2007), There are no non-planar triply ruled surfaces, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, p. 228, ISBN 9780821843161.
  2. Deutsches Wörterbuch von Jacob Grimm und Wilhelm Grimm. 16 Bde. (in 32 Teilbänden). Leipzig: S. Hirzel 1854–1960.
  3. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, Vorlage:ISBN, S. 250
  4. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband, Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276-289.
  5. W. Kühnel: Differentialgeometrie, S. 58–60
  6. G. Farin: S. 380
  7. CAD-Skript, S. 113
  8. Tang,Bo, Wallner, Pottmann: Interactive design of developable surfaces,ACM Trans. Graph. (MONTH 2015), DOI: 10.1145/2832906
  9. Snezana Lawrence: Developable Surfaces: Their History and Application, in  Nexus Network Journal 13(3) · October 2011, DOI: 10.1007/s00004-011-0087-z
  10. Süddeutsche Zeitung über "Gaudis Geheimnis".
  11. Scienceblogs über Regelflächen in der "Sagrada Familia".