Regulärer Raum

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind reguläre Räume spezielle topologische Räume, in denen jede abgeschlossene Teilmenge A und jeder nicht in A liegende Punkt x durch Umgebungen getrennt sind.

Ein T3-Raum ist ein regulärer Raum, der außerdem ein Hausdorff-Raum ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum. Zwei Teilmengen und von heißen durch Umgebungen getrennt, falls disjunkte offene Mengen und mit und existieren.

heißt regulärer Raum, falls jede abgeschlossene Menge und jeder Punkt durch Umgebungen von sowie von getrennt sind, also mit .

Hinweis: In der Literatur ist die Bezeichnung regulärer Raum und T3-Raum nicht eindeutig. Gelegentlich sind die Definitionen gegenüber der hier präsentierten Variante vertauscht.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Permanenz-Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Unterräume regulärer Räume sind wieder regulär.
  • Beliebige Produkte regulärer Räume sind wieder regulär.

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder reguläre Raum ist symmetrisch.[3]
  • Jeder reguläre Raum, der T0 erfüllt, erfüllt auch T2 und somit T1: Betrachte zwei Punkte und . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit existiere eine offene Umgebung von , die nicht enthält (andernfalls vertausche die beiden Punkte). Ihr Komplement ist abgeschlossen und enthält , aber nicht und kann daher von durch disjunkte Umgebungen getrennt werden, die somit auch und trennen.
  • Jeder reguläre Raum ist präregulär.
  • Jeder reguläre Raum ist außerdem halbregulär. Die regulär offenen Mengen bilden eine Basis eines regulären Raums. Diese Eigenschaft ist allerdings schwächer als die der Regularität. Das heißt, es gibt topologische Räume, deren regulär offene Mengen eine Basis bilden aber die nicht regulär sind.
  • Ein topologischer Raum ist genau dann ein regulärer Raum, wenn der Kolmogoroff-Quotient KQ('X') das Trennungsaxiom T3 erfüllt.
  • Jeder vollständig reguläre Raum ist auch regulär, die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel der Mysior-Ebene zeigt.
  • Erfüllt ein regulärer Raum das zweite Abzählbarkeitsaxiom, so ist er bereits normal und nach dem Metrisierbarkeitssatz von Urysohn pseudometrisierbar.
  • Jeder symmetrische normale Raum ist regulär.[4]

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum ist genau dann regulär, wenn jeder seiner Punkte eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen besitzt. Umgebungsbasis eines Punktes zu sein, bedeutet, dass man zu jeder Umgebung eine Umgebung mit und findet.

Der Sachverhalt lässt sich auch recht leicht allein mit den topologischen Grundbegriffen (Offenheit und Abschluss) ausdrücken, ohne dabei Umgebungen und Umgebungsbasen einführen zu müssen: Für jedes , offen, findet man ein offenes mit .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 84 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Lynn Arthur Steen: Counterexamples in Topology. Courier Corporation, 1995, ISBN 978-0-486-68735-3, S. 100 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. René Bartsch: Allgemeine Topologie. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 118.
  4. René Bartsch: Allgemeine Topologie. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 122.