Rektifizierbare Menge

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Die Rektifizierbare Menge ist ein zentraler Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Eine solche Menge hat stückweise glatte Eigenschaften und teilt somit fast überall Eigenschaften einer differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind diese Mengen von Bedeutung, weil sie einen approximativen Tangentialraum induzieren.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei mit . Eine Menge heißt abzählbar -rektifizierbar, falls Folgendes gilt:

  1. sind Lipschitz-Funktionen für ,

wobei das -dimensionale Hausdorff-Maß auf bezeichnet.

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da sich eine Lipschitz-Funktion zu erweitern lässt, wobei die neue Lipschitz-Konstante für eine Konstante , lässt sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren: für gilt

  1. sind Lipschitz-Funktionen für

Approximativer Tangentialraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , von Hausdorff-Dimension und -messbar mit für jede kompakte Menge . Dann nennt man den -dimensionalen linearen Unterraum von den -approximativen Tangentialraum von in falls

für . Dieser existiert genau dann -fast überall für jedes , wenn abzählbar -rektifizierbar ist.

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn dann .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-0-8176-4679-0.