Relation (Mathematik)

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Eine Relation (lateinisch relatio „Beziehung“, „Verhältnis“) ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob sie bestehen oder nicht. Zwei Gegenstände können also nicht „bis zu einem gewissen Grade“ in einer Relation zueinander stehen. Damit ist eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs möglich: Eine Relation ist eine Menge von -Tupeln. Dinge, die in der Relation zueinander stehen, bilden ein -Tupel, das ein Element von ist.

Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, versteht man unter einer Relation eine zweistellige oder binäre Relation, also eine Beziehung zwischen je zwei Elementen und ; diese bilden dann ein geordnetes Paar Stammen dabei und aus verschiedenen Grundmengen und , so heißt die Relation heterogen oder „Relation zwischen den Mengen und .“ Wenn die Grundmengen übereinstimmen (), dann heißt die Relation homogen oder „Relation in bzw. auf der Menge .“

Wichtige Spezialfälle, zum Beispiel Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen, sind Relationen auf einer Menge.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweistellige Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zweistellige Relation zwischen zwei Mengen und ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts

Die Menge wird als Vorbereich oder Quellmenge der Relation bezeichnet, die Menge als Nachbereich oder Zielmenge.[1]

Manchmal ist diese Definition jedoch nicht präzise genug und man bezieht die Quell- und Zielmenge in die Definition mit ein, obige Teilmenge wird dann der Graph der Relation genannt. Eine zweistellige Relation ist dann definiert als Tripel

mit

Die Kenntnis von Quelle und Zielmenge ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn man Funktionen als spezielle (sogenannte funktionale) Relationen betrachtet.

Mehrstellige Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner ist eine -stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen

mit .

Die ausführlichere Definition lässt sich auch auf -stellige Relationen verallgemeinern und man erhält dann das -Tupel

mit

Erläuterungen und Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller geordneten Paare von und wobei irgendein Element aus der Menge und eines aus darstellt. Bei dem geordneten Paar ist die Reihenfolge wichtig, d. h. unterscheidet sich von im Gegensatz zum ungeordneten Paar das identisch ist mit Für schreibt man auch , um zu verdeutlichen, dass jene Beziehung zwischen den Objekten besteht (wie in ).

Relationen und Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion ist eine spezielle, nämlich eine linkstotale und rechtseindeutige (zweistellige) Relation (siehe unten). Bei der ausführlicheren Definition kann, weil durch eindeutig bestimmt ist (linkstotal), auch weggelassen und einfacher genommen werden. An Stelle von bzw. wird dann und für bzw. auch oder geschrieben.

Eine Relation entspricht auf eindeutige Weise einer Funktion Diese Funktion ist auch als Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Teilmenge bzw. bekannt, wobei durch ersetzt werden kann.

lässt sich ebenso als eine Abbildung von in die Potenzmenge von auffassen, man spricht dann oft von einer Korrespondenz.

Verkettung von Relationen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Verallgemeinerung des bekannteren Konzepts der Verkettung von Funktionen können sogar zwei beliebige Relationen und miteinander verkettet werden. Das Ergebnis ist das relative Produkt oder Relationenprodukt

Dabei kann auch die einfachste Relation, die in jedem kartesischen Produkt enthalten ist, die leere Relation (leere Menge) auftreten, nämlich wenn ist.

Beispiel: Die Relation „Schwägerin sein von“ ist die Vereinigungsmenge

  • des relativen Produktes der Relation „Bruder sein von“ und der Relation „Ehefrau sein von“ und
  • des relativen Produktes der Relation „Ehepartner(in) sein von“ und der Relation „Schwester sein von“.

Homogene Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist also dann nennt man die Relation homogen. Manche Autoren definieren eine allgemeine Relation bereits als homogene Relation, denn eine allgemeine Relation ist auch immer homogen:

Eine spezielle homogene Relation in einer Menge ist die Gleichheits- oder Identitätsrelation

Wenn bereits bekannt ist, wird sie einfach mit bezeichnet, man nennt sie auch die Diagonale oder

Eine weitere spezielle homogene Relation ist die Allrelation oder Universalrelation

die etwa in der Graphentheorie eine Rolle spielt. Ein Anwendungsbeispiel ist folgender Satz:

Ist ein gerichteter Graph mit einer Menge von Ecken und einer (assoziierten) Relation von Kanten, so ist genau dann (stark) zusammenhängend, wenn die reflexiv-transitive Hülle von die Universalrelation ist.

Im Fall einer homogenen Relation ist die Verkettung ebenfalls eine homogene Relation, sodass die homogenen Relationen in eine Halbgruppe mit der multiplikativen Verknüpfung und dem neutralen Element bilden. Somit kann und können allgemeiner Potenzen für definiert werden, wobei ist. Das kann zu Verwechslungen mit dem kartesischen Produkt mit führen. Die Bedeutung ergibt sich jeweils aus dem Sinnzusammenhang.

wird daher auch Einsrelation genannt. Zudem besitzt jede Halbgruppe homogener Relationen mit der leeren Relation noch ein absorbierendes Element, sodass diese ebenso als Nullrelation

bezeichnet wird.

Umkehrrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrrelation (auch konverse Relation, Konverse oder inverse Relation genannt) ist für eine Relation definiert als

Beispiel 1: Die Umkehrrelation der Relation „Ehemann sein von“ ist die Relation „Ehefrau sein von“.

Beispiel 2: Die Umkehrrelation der Relation „kleiner als“ ist die Relation „größer als“.

Beispiel 3: Die Umkehrrelation der Relation „liefert an“ ist die Relation „wird beliefert von“.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften zweistelliger Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Übersicht über die Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Relationen sind für Funktionen (dargestellt als spezielle Relationen) wichtig. Im Allgemeinen besteht hier die Relation zwischen zwei verschiedenen Mengen der Fall ist natürlich auch möglich.

Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
linkstotal bzw. definal Jedes Element aus hat mindestens einen Partner in
rechtstotal bzw. surjektiv Jedes Element aus hat mindestens einen Partner in
linkseindeutig bzw. injektiv Jedes Element aus hat höchstens einen Partner in
(rechts-) eindeutig Jedes Element aus hat höchstens einen Partner in
Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
bitotal Jedes Element aus hat mindestens einen Partner in und umgekehrt.
eineindeutig Jedes Element aus hat höchstens einen Partner in und umgekehrt.
bijektiv Jedes Element aus hat genau einen Partner in
Abbildung bzw. Funktion Jedes Element aus hat genau einen Partner in

Alternative Sprechweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man sagt auch

  • linksvollständig an Stelle von linkstotal,
  • rechtsvollständig an Stelle von rechtstotal,
  • voreindeutig an Stelle von linkseindeutig,
  • nacheindeutig an Stelle von rechtseindeutig,
  • umkehrbar eindeutig an Stelle von eineindeutig.

Eine rechtseindeutige bzw. funktionale Relation nennt man auch partielle Funktion. Wenn diese auch linkstotal – also eine Funktion – ist, dann sagt man zur Verdeutlichung auch totale Funktion.

Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Übersicht über Funktionseigenschaften bei Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Relation ist also genau dann eine (totale) Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist. Das heißt, dass jedes Element in A genau einen Partner in B hat. Die Eigenschaften surjektiv, injektiv und bijektiv werden in der Regel für Funktionen gebraucht und spezifizieren bestimmte zusätzliche Eigenschaften. Z. B. ist eine Funktion (und auch eine beliebige Relation) genau dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, also wenn ihre Umkehrrelation eine Funktion ist.

Die Relation heißt genau dann, wenn sie eine ist oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
Surjektion surjektive Funktion Jedes Element aus hat genau einen Partner in und jedes Element aus hat mindestens einen Partner in
Injektion injektive Funktion Jedes Element aus hat genau einen Partner in und jedes Element aus hat höchstens einen Partner in
Bijektion bijektive Funktion Jedes Element aus hat genau einen Partner in und umgekehrt.

Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Abbildung bzw. Funktion nennt man auch

  • umkehrbar eindeutig oder umkehrbar, falls sie bijektiv ist.

Eine Funktion ist als Relation immer umkehrbar, als Funktion ist sie dagegen genau dann umkehrbar, wenn ihre Umkehrrelation auch wieder eine Funktion ist, also wenn es eine Umkehrfunktion von ihr gibt.

Homogene Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die in den folgenden Tabellen gegebenen Beispiele beziehen sich bei Verwendung von Gleichheitszeichen "=", Kleinerzeichen "<" und Kleinergleich-Zeichen "≤" auf die gewöhnliche Anordnung reeller Zahlen.

Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
rechtskomparativ bzw. drittengleich[2] Stehen zwei Elemente jeweils zu einem gleichen dritten Element in Relation, dann stehen auch sie zueinander in Relation. Z. B. gilt mit a = c und b = c stets a = b.
linkskomparativ bzw. euklidisch[3][4] Steht ein erstes Element jeweils zu einem zweiten und zu einem dritten Element in Relation, so stehen auch diese zueinander in Relation. Z. B. gilt mit a = b und a = c stets ebenso b = c.
transitiv Steht ein erstes Element zu einem zweiten Element und dieses wiederum zu einem dritten Element in Relation, so steht auch das erste Element zum dritten Element in Relation. Z. B. folgt aus a < b und b < c stets a < c.
intransitiv Stehen zwei Elemente in Relation und zudem das zweite Element zu einem dritten Element in Relation, dann steht das erste Element zum dritten Element nicht in Relation. Z. B. ist jede natürliche Zahl n die (unmittelbare) Vorgängerin von n + 1 und n + 1 die (unmittelbare) Vorgängerin von n + 2, aber n ist nicht (unmittelbare) Vorgängerin von n + 2.

Nichttransitivität (d. h. die Relation ist nicht transitiv), Intransitivität und negative Transitivität sind jeweils voneinander verschieden.

Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
reflexiv Jedes Element steht in Relation zu sich selbst, z. B. ist stets aa.
irreflexiv Kein Element steht in Relation zu sich selbst, z. B. gilt a < a für kein a.
Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
symmetrisch Die Relation ist ungerichtet, z. B. folgt aus a = b stets b = a (und umgekehrt)
antisymmetrisch bzw. identitiv Es gibt keine zwei verschiedenen Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z. B. folgt aus ab und ba stets a = b.
asymmetrisch Es gibt keine zwei Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z. B. folgt aus a < b stets, dass b < a nicht gilt.
Die Relation heißt genau dann, wenn (Prädikatenlogik) oder gleichwertig (Mengenschreibweise) und das bedeutet:
total bzw. vollständig Je zwei Elemente stehen in Relation, z. B. wenn stets ab oder ba gilt.
konnex[5] bzw. verbunden Je zwei verschiedene Elemente stehen in Relation, z. B. wenn stets a = b, a < b oder b < a, aber ebenso wenn stets ab oder ba gilt.
trichotom Je zwei verschiedene Elemente stehen stets auf genau eine Weise in Relation, z. B. wenn stets entweder a < b oder b < a gilt.

Zwischen den Eigenschaften gelten folgende Zusammenhänge:

Zusammenhang der Eigenschaften binärer Relationen

Klassen von Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhänge zwischen verschiedenen zweistelligen Relationen

Weitere wichtige Klassen von Relationen und ihre Eigenschaften:

Relationszeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der elementaren Mathematik gibt es drei grundlegende Vergleichsrelationen:

  1. (Beispiel: „2 ist kleiner als 3“)
  2. (Beispiel: „3 ist gleich 3“)
  3. (Beispiel: „3 ist größer als 2“)

mit .

Zwei reelle Zahlen stehen immer in genau einer dieser Relationen zueinander. Mit diesen Relationszeichen lassen sich auch weitere bilden. Es gilt:

  • , falls oder (Beispiel: „4 ist nicht größer als 5“)
  • , falls oder (Beispiel: „5 ist nicht kleiner als 5“)
  • , falls oder (Beispiel: „4 ist nicht gleich 5“)

für alle .

Für komplexe Zahlen existieren obige Ordnungsrelationen nicht.

Mathematiker verwenden das Zeichen ≤ auch für abstrakte Ordnungsrelationen (und ≥ für die zugehörige Umkehrrelation) während "<" keine Ordnungsrelation im Sinne der mathematischen Definition ist.

Für Äquivalenzrelationen werden "symmetrische" Symbole wie ≈, ~, ≡ bevorzugt.

Kategorientheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen beliebigen Halbring mit Nullelement und Einselement ist folgendes eine Kategorie:

  • ,
  • ein Morphismus ist eine Funktion ,
  • Für Objekte ist
  • für Objekte und Morphismen ist
    .

Die Morphismen sind also mengenindizierte Matrizen, und ihre Komposition geschieht wie bei der Matrixmultiplikation.

Im Sonderfall ist , d. h. die Kategorie der Relationen.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Operationen auf ganzen Relationen werden in der relationalen Algebra untersucht. In der Informatik sind Relationen bei der Arbeit mit relationalen Datenbanken wichtig.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963.
  • Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.
  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0, S. 30–33, 42–45.
  • Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-50304-8.
  • Robert Wall: Einführung in die Logik und Mathematik für Linguisten. Übersetzt von W. Klein, A. Kratzer, A. v. Stechow. Band 1: Logik und Mengenlehre. Scriptor, Kronberg/Ts. 1974, ISBN 3-589-00023-6.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Relation – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Bibliographisches Institut Leipzig, 1979, S. 484.
  2. „Zwei Größen, die einer und derselben dritten gleich sind, sind untereinander gleich.“ (vgl. Henri Poincaré: Wissenschaft und Hypothese. Autor. dt. Ausg. m. erl. Anm. v. F. u. L. Lindemann. Teubner, Leipzig 1904, S. 36).
  3. Wolfgang Rautenberg: Einführung in Die Mathematische Logik. Ein Lehrbuch. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, S. 42.
  4. Das 1. Axiom in Euklids Elementen kann dagegen auch als gleichbedeutend mit drittengleich angesehen werden.
  5. Nicht selten wird konnex auch wie total definiert.