Relativistischer Impuls

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Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls eines Teilchens der Masse nichtlinear von der Geschwindigkeit ab:

Dabei ist der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

mit der Lagrangefunktion

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort abhängt, (das heißt, die Komponenten sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu konjugierte Impuls mit Komponenten

also

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

wie sie sich umgekehrt aus ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.