Riemannsche Xi-Funktion

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Die Riemannsche-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die riemannsche Xi-Funktion eine Transformierte der riemannschen Zeta-Funktion. Ihre Nullstellen entsprechen dabei ausschließlich den nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion, und im Gegensatz zu dieser ist die Xi-Funktion holomorph auf der ganzen komplexen Ebene. Zudem genügt sie einer besonders einfachen Funktionalgleichung. Bernhard Riemann führte sie 1859 in derselben Arbeit über die Primzahlverteilung ein, in der er auch die später nach ihm benannte riemannsche Vermutung formulierte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die riemannsche Xi-Funktion („klein xi“) ist definiert als

wo die riemannsche -Funktion und die Gamma-Funktion bezeichnet. Der Produktterm auf der rechten Seite vor der riemannschen -Funktion eliminiert genau alle negativen Nullstellen und die Singularität der Zeta-Funktion an der Stelle . Die einzigen Nullstellen von sind daher genau die nichttrivialen Nullstellen der -Funktion.

Eine Variante der Xi-Funktion wird üblicherweise mit („groß Xi“) bezeichnet und geht aus durch die Variablentransformation (also ) hervor:

Die riemannsche Vermutung ist äquivalent zu der Aussage, dass alle Nullstellen von reell sind.

Bemerkenswerterweise verwendete Riemann selber den Buchstaben zur Bezeichnung derjenigen Funktion, die man heute (nach Landau) mit bezeichnet; die Ursache für diese zunächst verwirrende Symbolik liegt in einem offenbaren Fehler Riemanns[1], der aber keinerlei Auswirkungen auf die Aussagen seines Artikels hat.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt:

(Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, Folge A114720 in OEIS)

Für gerade natürliche Zahlen gilt:

wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Aus dieser Darstellung ergeben sich unter anderem die Werte:

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Xi-Funktion genügt der Funktionalgleichung („Reflexionsformel“)

oder äquivalent dazu für die -Funktion:

ist damit eine gerade Funktion.

Produktdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wobei in der Produktformel über alle Nullstellen von läuft.[2]

Beziehung zur Riemann-Siegelschen Z-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt[3]

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reelle Werte von s gilt[4]

also

(wobei das Landau-Symbol bezeichnet). Entsprechend gilt für reelle Werte von t[5]

Li-Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Xi-Funktion hat eine enge Beziehung zu den so-genannten Li-Koeffizienten

denn es gelten die Beziehungen[6]

und

Das lische Kriterium ist die Eigenschaft für alle positiven . Es ist äquivalent zu der riemannschen Vermutung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover Publications, Mineola, NY 2001, ISBN 0-486-41740-9.
  • J. C. Lagarias: Li coefficients for automorphic L-functions. In: Mathematics. 2004. arxiv:math.MG/0404394.
  • B. Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. In: Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1859.
  • E. C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853369-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)
  2. Edwards (2001) §2.1 (S. 39)
  3. Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)
  4. Titchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)
  5. Titchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)
  6. Lagarias (2004)