Rotation (Physik)

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Dieser Artikel stellt die Drehung eines Objekts dar. Für die mathematische Eigenschaft siehe Rotation eines Vektorfeldes

Rotation, auch Rotationsbewegung, Drehung, Drehbewegung, Kreisbewegung oder Gyralbewegung, ist ganz allgemein die Bewegung eines Punktes, Körpers oder Bezugssystems um eine Rotationsachse. Der Begriff wird sowohl für eine einmalige Drehung um einen bestimmten Winkel gebraucht als auch für eine fortlaufende Bewegung mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit. Die Rotationsachse kann, muss aber nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers gehen.

Rotierende Ringe

Der Begriff gehört in der Physik zu den Teilgebieten Mechanik und Kinematik. In der Astronomie tritt er unter anderem im Zusammenhang mit den Veränderungen der Erdrotation und den Bewegungen von anderen Objekten bis hin zu Galaxien auf. Anwendungen aus dem Alltag und Beispiele, die oft zur anschaulichen Erklärung der mit der Rotation verbundenen Erscheinungen genutzt werden, sind der Kreisel und das Karussell.

Bei der Rotation bleiben alle Punkte der Rotationsachse an ihrem Ort (Fixpunkte), während alle anderen Punkte sich in festem Abstand von der Achse auf einem senkrecht zur Achse liegenden Kreis um denselben Winkel bzw. mit derselben Winkelgeschwindigkeit sie herum bewegen. Daher bleiben auch die Längen der Verbindungslinien je zweier Punkte des Objekts und die Winkel dazwischen gleich.

Parameter der Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine endliche Rotation ist eindeutig durch die Angabe eines Fixpunkts und eines Vektors charakterisiert, der parallel zur Rotationsachse liegt und durch seine Länge den Drehwinkel angibt. Im Falle einer fortschreitenden Rotationsbewegung ist dieser Vektor die Winkelgeschwindigkeit. Die Rotation um einen bestimmten Punkt eines festgehaltenen Bezugssystems kann daher durch die drei Komponenten des zugehörigen Vektors beschrieben werden. Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der drei Eulerwinkel.

Vergleich mit der Translationsbewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Tabelle vergleicht die charakteristischen Größen und die Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung mit jenen bei einer Rotationsbewegung. Aufgrund der Analogien lässt sich jeder Satz über die Translation durch Ersetzen der entsprechenden Größen in einen Satz über die Rotation umwandeln.[1]

Translationsbewegung Rotationsbewegung
Ortsvektor: Drehwinkel bzw. Drehmatrix:
Geschwindigkeit: (1) Winkelgeschwindigkeit: (3)
Beschleunigung: Winkelbeschleunigung:
Masse: (Skalar) Trägheitstensor: (Tensor zweiter Stufe, in Sonderfällen Skalar )(2)
Kraft: Drehmoment:
Impuls: Drehimpuls(2):
Antrieb (linear) / Kraftstoß: Antrieb (Rotation):
Kinetische Energie: Rotationsenergie:
Arbeit: Arbeit bei Drehbewegung (Dreharbeit):
Leistung: Leistung bei Drehbewegung (Drehleistung):
Bewegungsgleichungen
Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft (Impulssatz):

Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft (Drehimpulssatz):

Im Falle konstanter Masse (Zweites newtonsches Axiom):

Im Falle konstanten Trägheitsmoments :(2)

(1) Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren zeitliche Änderung (Ableitung ) handelt. Der Punkt zwischen zwei Vektoren bedeutet das Skalarprodukt.
(2) Im Allgemeinen zeigen und nicht in die gleiche Richtung (ein rotierender Körper „eiert“ oder zeigt Unwucht), daher ist das Trägheitsmoment im Allgemeinen nicht konstant. Das Äquivalent zur Masse der Translationsbewegung ist daher ein Tensor 2. Stufe – der Trägheitstensor. Ein konstantes Trägheitsmoment tritt genau dann auf, wenn der Körper um eine seiner Hauptträgheitsachsen rotiert.
(3) ausgedrückt in den Ableitungen der Eulerwinkel. Drehachsen (Einheitsvektoren).

Rotation starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Orientierung eines starren Körpers im Raum eindeutig zu beschreiben, sind drei skalare (Winkel-)Angaben notwendig. Zwei davon geben nur die Richtung seiner Rotationsachse an, die dritte, wie weit der Körper um diese Achse gedreht wurde.

Für einen starren Körper mit beliebiger Massenverteilung gibt es bei freier Drehbewegung mindestens eine stabile Drehachse (Moment-freie Achse) durch den Massenmittelpunkt. Regelmäßige Körper besitzen mehrere stabile Drehachsen, für eine Kugel ist jede Mittelpunktsachse eine stabile Drehachse.

Versucht man, einen starren Körper um eine andere Achse rotieren zu lassen als eine seiner stabilen Drehachsen, so entstehen Momente, die ihn dazu bringen wollen, seine momentane Rotationsachse zu verändern. Wird die Achse nicht durch Lager, die Drehmomente auf sie ausüben, festgehalten, gerät der Körper ins Taumeln. Seine Bewegung lässt sich aus gleichzeitigen Rotationen um mehrere seiner Hauptträgheitsachsen zusammensetzen.

Eine freie Rotation um eine instabile Achse ist möglich und wird umgangssprachlich als „Torkeln“ oder „Eiern“ bezeichnet, technisch bzw. wissenschaftlich – je nach Art der Achsenbewegung – als Taumeln der Achse oder als sekundärer Achsfehler, bzw. von Präzession oder Nutation. Die Rotationsbewegung eines starren Körpes hat nur in einfachen Spezialfällen die Form einer stabilen Drehung um eine feste Achse, nämlich wenn die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem kleinsten oder dem größten Trägheitsmoment erfolgt. In allen anderen Fällen zeigt die Rotationsachse, wenn keine äußeren Kräfte auf den Körper wirken, eine komplexe Bewegung, die Nutation genannt wird. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden, ist die Rotation um die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitmoment in einem labilen Zustand, weil kleinste Störungen zu starken Torkelbewegungen führen (siehe z. B. Dschanibekow-Effekt). Die genauere Behandlung erfolgt mit Hilfe der eulerschen Kreiselgleichungen, für nähere Erklärungen siehe dort. Für die technische Anwendung gibt es bedeutsame Spezialfälle, bei denen sich die eulerschen Kreiselgleichungen soweit vereinfachen, dass sich einfache Lösungen ergeben. In diesen Fällen sind die Trajektorien des Systems periodisch.

Fall von Euler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fall von Euler beschreibt einen Kreisel, der genau in seinem Schwerpunkt aufgehängt ist. Unabhängig von der Form des Kreisels ist der Fall integrabel, da es mehr Erhaltungsgrößen als Freiheitsgrade gibt: die Energie und die Drehimpulse bezüglich aller drei Hauptträgheitsachsen des Körpers.

Ist die Masse des rotierenden Körpers rings um die Drehungsachse symmetrisch verteilt, so wirken auf die Achse keinerlei aus der Rotation entspringende Kräfte, da ja die Schwungkraft (Zentrifugalkraft) eines jeden Massenteilchens durch eine gleiche und entgegengesetzte aufgehoben wird; eine solche Achse wird eine freie Achse genannt.
Da jedes um eine freie Achse rotierende Massenteilchen der Trägheit folgend in seiner zur Achse senkrechten Drehungsebene zu verharren strebt, muss auch die freie Achse selbst die Tendenz zeigen, ihre Richtung im Raum zu bewahren und wird so einer Kraft, die sie aus dieser Richtung bringen will, einen umso größeren Widerstand entgegensetzen, je größer das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers sind. Daher kommt es, dass ein hinlänglich rasch rotierender Kreisel nicht umfällt, selbst wenn seine Achse schief steht, wie auch Räder, Münzen etc. nicht umfallen, wenn man sie auf ihrem Rand rollen oder um den vertikalen Durchmesser „tanzen“ lässt.

Die Wirkung der störenden Kraft auf den Kreisel äußert sich vielmehr dadurch, dass dessen Achse in einer zur Richtung der störenden Kraft senkrechten Richtung ausweicht und in langsamer Bewegung die Oberfläche eines Kegels beschreibt, ohne dass die Achse ihre Neigung gegen die horizontale Ebene ändert. Diese Bewegung wird als Präzession bezeichnet.

Der eulersche Kreisel findet z. B. in Kreiselkompassen und gyroskopischen Steuersystemen technische Anwendung. Auch die Räder von Fahrrädern und Motorrädern sind in guter Näherung eulersche Kreisel und dienen neben der Spurführung des Fahrzeugs durch ihr Bestreben, den Drehimpuls zu erhalten, zur Stabilisierung des Fahrzeugs. Siehe hierzu auch: Fahrradfahren.

Fall von Lagrange[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Fall von Lagrange wird die Übereinstimmung der Trägheitsmomente bezüglich zweier Hauptachsen angenommen. Dies wird von radialsymmetrischen Körpern erfüllt. In diesem Fall gibt es mit drei Erhaltungsgrößen ebenso viele wie Freiheitsgrade: die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls bezüglich der z-Achse (in Richtung des Kraftfeldes). Dieser Fall wird durch einen typischen Spielzeugkreisel realisiert, wenn man dessen Aufsetzpunkt am Boden fixiert.

Fall von Kowalewskaja[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kowalewskaja-Kreisel hat bezüglich zweier seiner Hauptachsen gleiche Trägheitsmomente und ein genau doppelt so großes bezüglich der dritten Hauptachse. Die Erhaltungsgrößen sind die Energie, der Gesamtdrehimpuls und ein komplexer mathematischer Ausdruck, für den es keine allgemeinverständliche Entsprechung gibt.

Fall von Goryachew-Chaplygin[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fall von Goryachew-Chaplygin[2] ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles, der statt doppelt so großem dritten Trägheitsmoment ein viermal so großes fordert. In diesem Fall gibt es allerdings nur dann eine dritte Erhaltungsgröße, wenn der Drehimpuls um die z-Achse verschwindet.

Unabhängig von anderen Einflüssen ist jeder Kreisel quasi-integrabel, bei dem entweder sehr wenig oder sehr viel Energie (im Vergleich zur potentiellen Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt) in der Rotation steckt. Die chaotischsten Bewegungen bei den nicht integrablen Typen treten unabhängig von der Form dann auf, wenn die kinetische Energie des Kreisels gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hans Schmiedel, Johannes Süss: Physik – für technische Berufe. 16. Auflage, Büchner, Hamburg 1963, S. 74.
  2. Theoretische Untersuchung des Fall von Goryachew-Chaplygin.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Brosche, Helmut Lenhardt: Die Polbewegung aus den Beobachtungen von F. W. Bessel 1842–1844. In: zfv, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement, Heft 6/2011, S. 329–337, DVW e. V. (Herausgeber), Wißner-Verlag, Augsburg 2011, ISSN 1618-8950, über Erdrotation.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Rotation – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wiktionary: rotieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen