S3 (Gruppe)

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Die sogenannte symmetrische Gruppe bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind und . Sie ist isomorph mit der Diedergruppe , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wirkungen der Abbildungen , , , und

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten:[1]

  • die identische Abbildung ,
  • die Drehung um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • die Drehung um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • drei Spiegelungen und an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit oder ) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist.[2] Die Schreibweise macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

Will man das Produkt für zwei Elemente aus ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit gekennzeichnete Zeile und mit gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges -Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe auch mit bezeichnet.

Elemente der S3 als Permutationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der kann daher als Permutation der Menge aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Zweizeilenform und dahinter die Zykelschreibweise[3] der Elemente sowie deren Ordnungen:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Keine abelsche Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gruppe ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt . Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen und selbst sind:

  • . Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
  • . Diese Untergruppen sind keine Normalteiler; beispielsweise ist .

Erzeuger und Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:[4]

Irreduzible Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bis auf Äquivalenz hat die drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale.[5] Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von und anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

  • Die triviale Darstellung:
  • Die Signum-Abbildung:
  • Die zweidimensionale Darstellung: .

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man durch ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:[6]

Weitere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper ,

ist isomorph zur .

Transformationengruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gebrochen linearen Funktionen mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper und den Zuordnungen[7]

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe , die isomorph zur ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen

auch in den Wertetabellen, wenn wenigstens 5 Elemente hat.

Automorphismengruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ist isomorph zur Automorphismengruppe der kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie. Studienbücher Mathematik (1975), ISBN 3-451-16528-7, Abschnitt II.5
  2. Diese Reihenfolge kommt von der Operatorenperspektive, wie sie bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen (so auch bei den Permutationen) vorherrscht. Für die pure Gruppentheorie ist die Reihenfolge unerheblich.
  3. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.4.2.c
  4. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.7.18.c
  5. J. P. Serre: Darstellungen endlicher Gruppen. Vieweg (1972), ISBN 3-528-03556-0, §5.3
  6. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 b
  7. Ist der Körper der komplexen Zahlen, genauer: die riemannsche Zahlenkugel, dann handelt es sich um Möbiustransformationen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]