SEIR-Modell

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Als SEIR-Modell bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie einen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten. Die Beschreibung ist näher am realen Verlauf als die des SIR-Modells, da hier berücksichtigt wird, dass ein Individuum nach seiner Infektion nicht sofort selbst infektiös ist. Im Gegensatz zu einem Individuum-basierten Modell ist die Beschreibung makroskopisch, d. h. die Population wird als Gesamtheit betrachtet.

Gleichungssystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Population von N Individuen sei zerlegt in die vier Kompartimente S, E, I, R, so dass

bzw.

Jedes Individuum kann die Prozedur

Susceptible (S) → Exposed (E) → Infectious (I) → Recovered (R)

durchlaufen. Die Ausbreitungsdynamik der Krankheit wird beschrieben durch

Es handelt sich hierbei um ein nichtlineares System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. In der Literatur sind verschiedene Formen in Gebrauch, zum Beispiel gibt es auch eine modifizierte Form der Gleichungen mit einem Term statt . Diese Form wird im Artikel SIR-Modell benutzt. Außerdem ist häufig nicht auf normiert, sondern es gilt mit der Gesamtpopulation.

Größe Einheit Erklärung
S(t) 1 Anteil der Anfälligen, engl. susceptible. Noch nicht infiziert.
E(t) 1 Anteil der Exponierten, engl. exposed. Infiziert, aber noch nicht infektiös.
I(t) 1 Anteil der Infektiösen, engl. infectious.
R(t) 1 Anteil der Erholten, engl. recovered oder resistant. Bzw. verstorben oder nach Symptomen in Quarantäne.
t d Zeit in Tagen, engl. time.
Indv Indv Anzahl Individuen
β 1/(Indv*d) Transmissionsrate. Der Kehrwert ist die mittlere Zeit zwischen Kontakten.
γ 1/d Gesundungsrate. Der Kehrwert ist die mittlere infektiöse Zeit.
a 1/d Der Kehrwert ist die mittlere Latenzzeit.

Die mittlere Latenzzeit ist die durchschnittliche Zeit, die ein Individuum in der Gruppe E der Exponierten verbringt; diese ist zu unterscheiden von der mittleren Inkubationszeit, denn der Beginn der Infektiosität muss nicht mit dem Beginn der Symptome übereinstimmen.

Für die Transmissionsrate (Übertragungsrate) ist auch die Bezeichnung Kontaktrate geläufig. Eine genauere Überlegung zerlegt diese in ein Produkt , wobei die Transmissionswahrscheinlichkeit und die eigentliche Kontaktrate ist.

Beziehung zur Basisreproduktionszahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich eine Beziehung zur Basisreproduktionszahl herstellen. Damit sich die Krankheit nicht weiter ausbreitet, muss und sein. Einsetzung dieser Bedingungen in die Differentialgleichungen führt zu und , und somit . Das entspricht dem Fall der Basisreproduktionszahl und es ergibt sich mit : [1][2]

Benutzt man auf normalisierte Anzahlen von Personen oder verwendet modifizierte SEIR-Gleichungen (wie im Artikel SIR-Modell, dabei unterscheidet sich aber die Definition von in der Formel für von der hier verwendeten), so ergibt sich:

.[3][4]

Der Parameter , der den Übergang in das Zwischenstadium beschreibt, in der die Person infiziert ist aber noch nicht ansteckend, spielt bei der Basisreproduktionszahl keine Rolle, solange man die Möglichkeit des Versterbens in der Gruppe E vernachlässigt.[1] Falls man dies nicht tut erhält man eine Formel für wie unten im Abschnitt Einbeziehung demografischer Dynamik angegeben.

Man kann auch eine zeitabhängige Nettoreproduktionszahl bzw. mit definieren.

Maximal möglicher Anteil an Infizierten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Basisreproduktionszahl bestimmt wesentlich den maximal möglichen Anteil von Infizierten an einer gegebenen Population. Bezeichnen wir die Gesamtanteil aller Infizierten mit , also , so folgt aus dem obigen Differentialgleichungssystem

,

oder mit der Basisreproduktionszahl einfach

Mit Umstellung dieser Gleichung nach liefert eine Integration durch Trennung der Variablen

für alle t, wobei der natürliche Logarithmus ist. Insbesondere gilt damit

oder äquivalent

Die Hilfsfunktion hat wegen ein Maximum bei . Der maximal mögliche Anteil der Infizierten wird also für erreicht, d. h. hängt nur von der Basisreproduktionszahl und den Anfangswerten von und ab:

Für eine neu auftretende Erkrankung wie eine Epidemie durch ein unbekanntes Virus gilt und , d. h. der maximal mögliche Anteil der Infizierten an der Population hängt in diesem Fall wie folgt von der Basisreproduktionszahl ab:

Diese Gleichung entspricht der unter SIR-Modell#Maximale Zahl der Infizierten angegebenen Gleichung für das SIR-Modell.

Anteil der Erholten am Ende der Epidemie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Zusammenhang mit der Basisreproduktionszahl steht auch, welcher Anteil der Population insgesamt infiziert wird, unter Annahme, die Epidemie würde ohne jegliche Quarantäne durchlaufen. Unter Heranziehung der Differentialgleichungen findet man

Für den Anfangswert ist demnach

Bei ist nun , und daher . Daraus resultiert die Gleichung

Algebraische Umformung führt zur Gleichung

Mit und lautet die letzte Gleichung , die mit der lambertschen W-Funktion nach umgestellt werden kann, d. h. , was wieder zurückersetzt und nach umgestellt

ergibt.

Für die praktische Berechnung des hier relevanten Teils der W-Funktion betrachtet man das quadratische Taylorpolynom der Funktion an der Stelle −1 und bestimmt von diesem die Nullstelle, auf welche noch einmalig die Fixpunktiteration angewendet wird. Das Resultat ist

Eine gute Näherung der W-Funktion erhält man nun als

wobei die n-te Iteration des Newtonverfahrens

ist. Für alle praktischen Bedürfnisse ist völlig ausreichend.

Exponentielle Anfangsphase[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am Anfang der Epidemie verläuft die Ausbreitung der Krankheit in guter Näherung exponentiell. Mit dem Ansatz kommt die Beziehung hinzu. Hiermit gilt nun und . Infolge gilt

Leitet man diese Gleichung nun auf beiden Seiten ab, benutzt und dividiert anschließend durch , bekommt man

bzw.

Da am Anfang in sehr guter Näherung ist, kann gesetzt werden, womit eine Beziehung zwischen den Parametern und der Wachstumskonstante gewonnen ist.

Ein alternativer systematischer Ansatz betrachtet gleich , womit sich die Differentialgleichungen zu einem linearen System vereinfachen, das als

beschrieben werden kann.[5] Alle weiteren Betrachtungen folgen aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und ihrer Eigenwerttheorie. Die Wachstumskonstante ist ein Eigenwert der Systemmatrix , die bereits gefundene Gleichung bekommt man aus

Wie bei jedem exponentiellen Wachstumsvorgang ist die Wachstumskonstante äquivalent zur anschaulicheren Vervielfachungszeit

speziell zur Verdopplungszeit .

Beispielrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es folgt eine Beispielrechnung zu einer Parameterbelegung wie sie für die COVID-19-Pandemie 2020 in Deutschland abgeschätzt wurde.[6] Die Ausbreitung verläuft bezüglich einer Basisreproduktionszahl von 2,4, was der Unterlassung wesentlicher Quarantäne entspricht. Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems genügt das Euler-Verfahren.

from numpy import array as vector

# Explizites Euler-Verfahren
def euler_method(f,t0,x0,t1,h):
    t = t0; x = x0
    a = [[t,x]]
    for k in range(0,1+int((t1-t0)/h)):
        t = t0 + k*h
        x = x + h*f(t,x)
        a.append([t,x])
    return a

def SEIR_model(beta,gamma,a):
    def f(t,x):
        S,E,I,R = x
        return vector([
            -beta*S*I,
            beta*S*I - a*E,
            a*E - gamma*I,
            gamma*I
        ])
    return f

def SEIR_simulation(beta,gamma,a,E0,I0,days,step=0.1):
    x0 = vector([1.0-E0-I0,E0,I0,0.0])
    return euler_method(SEIR_model(beta,gamma,a),0,x0,days,step)

def diagram(simulation):
    import matplotlib.pyplot as plot
    plot.style.use('fivethirtyeight')
    figure,axes = plot.subplots()
    figure.subplots_adjust(bottom = 0.15)
    axes.grid(linestyle = ':', linewidth = 2.0, color = "#808080")
    t,x = zip(*simulation())
    S,E,I,R = zip(*x)
    axes.plot(t,S, color = "#0000cc")
    axes.plot(t,E, color = "#ffb000", linestyle = '--')
    axes.plot(t,I, color = "#a00060")
    axes.plot(t,R, color = "#008000", linestyle = '--')
    plot.show()

def simulation1():
    N = 83200000 # Einwohnerzahl von Deutschland 2019/2020
    R0 = 2.4; gamma = 1/3.0
    return SEIR_simulation(
        beta = R0*gamma, gamma = gamma, a = 1/5.5,
        E0 = 40000.0/N, I0 = 10000.0/N, days = 140)

diagram(simulation1)
Dynamics of an infectious disease, according to the basic SEIR model

Die vier Anteile, jeweils abhängig von der Zeit in Tagen.
S in Blau, E in Gelb gestrichelt, I in Magenta, R in Grün gestrichelt.

Ersichtlich ist an diesem Beispiel, dass die Epidemie aufgrund der Aufheizung durch die Infektiösen auch noch nach dem Erreichen der kritischen Immunisierungsschwelle

weiterläuft. Insgesamt würden sich 88 % der Bevölkerung mit der Krankheit anstecken. Die Epidemie ließe sich allerdings spätestens nach Erreichen der kritischen Immunisierungsschwelle durch eine ca. einmonatige strenge Quarantäne stoppen.

Einbeziehung demografischer Dynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zustandsdiagramm

Unter der Annahme einer konstanten Sterberate und einer damit übereinstimmenden Geburtenrate wurde das erweiterte Modell

formuliert. Gegenüber dem einfachen SEIR-Modell beschreibt dieses Modell auch einen langfristigen endemischen Verlauf, bei dem es zu einer Oszillation der Suszeptiblen kommen kann, bis sich ins durch

definierte Gleichgewicht eingependelt hat.

Für die Basisreproduktionszahl findet man hier bei Betrachtung des Gleichgewichts die Beziehung

Zeitabhängige Transmissionsrate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorgänge wie Verhaltensänderungen, Quarantäne und Saisonalität bewirken eine Veränderung der Transmissionsrate. Diese Umstände finden ihre Berücksichtigung in der Modellierung der Transmissionsrate als zeitabhängige Funktion , wobei das übrige Modell identisch beibehalten wird.[7] Die einfachsten Ansätze für die Saisonalität nehmen die Transmissionsrate z. B. als Sinusschwingung an, mit Berg in den kälteren und Tal in den wärmeren Monaten.[8]

Zu Bemerken ist, dass das Differentialgleichungssystem mit der expliziten Zeitabhängigkeit kein autonomes mehr ist und damit nicht mehr direkt ein dynamisches System vorliegt. Man kann aus dem System allerdings durch Hinzunahme der Gleichung künstlich ein autonomes gewinnen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Modellrechner für den Verlauf einer Epidemie nach dem SEIR-Modell mit änderbaren Input-Variablen

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Pauline van den Driessche, Reproduction numbers of infectious disease models, Infectious Disease Modelling, Band 2, August 2017, S. 288–303
  2. Odo Diekmann, Hans Heesterbeek, Tom Britton, Mathematical tools for understanding infectious disease dynamics, Princeton UP, 2013, S. 35
  3. Institute for Disease Modeling: SEIR Model (abgerufen am 12. April 2020)
  4. C. Hubbs (2020): Social Distancing to Slow the Coronavirus (abgerufen am 12. April 2020)
  5. Junling Ma: Estimating epidemic exponential growth rate and basic reproduction number. In: Infectious Disease Modelling, Volume 5, 2020, S. 129–141, KeAi Publishing (17. Dez. 2019).
  6. Stellungnahme der Deutschen Gesellschaft für Epidemiologie (DGEpi) zur Verbreitung des neuen Coronavirus (SARS-CoV-2). (PDF) Deutsche Gesellschaft für Epidemiologie, 18. März 2020, abgerufen am 26. März 2020. Die der Beispielrechnung zugrunde liegende Version vom 19. März ist nicht mehr auffindbar. Hier ersatzweise die Version vom Vortag. Die aktuelle Version siehe hier.
  7. Gerardo Chowell, Cécile Viboud, Lone Simonsen, Seyed M. Moghadas: Characterizing the reproduction number of epidemics with early subexponential growth dynamics. In: J. R. Soc. Interface 13: 20160659 (17. August 2016). DOI: 10.1098/rsif.2016.0659.
  8. M. Keeling, P. Rohani: Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals. Abschnitt 5.2. (S. 159): Modeling forcing in childhood infectious diseases: Measles.