Sackur-Tetrode-Gleichung

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Die Sackur-Tetrode-Gleichung ist eine Formel zur Berechnung der Entropie S eines idealen Gases. Sie lautet:

mit:

Volumen des Gases
Teilchenzahl
innere Energie des Gases
Boltzmannkonstante
Masse eines Gasteilchens
Plancksches Wirkungsquantum

Otto Sackur und Hugo Tetrode stellten unabhängig voneinander die Gleichung auf.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Entropie von den Variablen bekannt ist, lassen sich Temperatur, Druck und chemisches Potential ableiten (siehe Mikrokanonisches Ensemble):

Somit erhält man die inverse Temperatur durch Ableiten nach der Energie:

Hieraus erhält man die kalorische Zustandsgleichung:

Hieraus erhält man die thermische Zustandsgleichung:

Mit der thermischen De Broglie-Wellenlänge und der Beziehung für die Innere Energie lässt sich die Sackur-Tetrode-Gleichung auch schreiben als:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein -atomiges ideales Gas befinde sich in einem abgeschlossenen Kasten (konstantes Volumen, kein Energie- oder Teilchenaustausch mit der Umgebung, keine äußeren Felder). Es ist also mikrokanonisch zu beschreiben. Hier berechnet sich die gesuchte Entropie aus der Zustandssumme über .

Die mikrokanonische Zustandssumme ist:

Die Gasteilchen seien einzelne Atome (keine Rotationen oder Vibrationen, nur Translation möglich), die nicht miteinander wechselwirken. Die dazugehörige Hamiltonfunktion ist:

Eingesetzt in die Zustandssumme:

Die Ortsintegrationen ließen sich einfach ausführen. Nun geht man über zu -dimensionalen Kugelkoordinaten, um die Impulsintegration zu vereinfachen. Der Radius ist , somit schreibt sich ein Volumenelement als Radiuselement mal Oberflächenelement .

Das Integral über ist die Oberfläche (Sphäre) einer 3N-dimensionalen Einheitskugel und beträgt:

Die Delta-Funktion lässt sich umschreiben zu:

Ergibt eingesetzt in die Zustandssumme:

Im Grenzfall großer Teilchenzahlen kann man die Fakultät mit der Stirling-Formel bis zur zweiten Ordnung entwickeln: :

Die Entropie ergibt sich nun aus:

Für große kann man den letzten Summanden vernachlässigen. Umsortieren liefert die Sackur-Tetrode-Gleichung:


Der Fall eines harmonischen Fallenpotentials wird als Erweiterung in [1] diskutiert.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Martin Ligare: Classical thermodynamics of particles in harmonic traps. In: American Journal of Physics. 78, Nr. 8, 2010, S. 815. doi:10.1119/1.3417868.