Sattel-Knoten-Bifurkation

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Bifurkationsdiagramm einer Sattel-Knoten-Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die Sattel-Knoten-Bifurkation (englisch saddle node bifurcation), Falten-Bifurkation (engl. fold bifurcation), Tangenten-Bifurkation (engl. tangent bifrucation), limit point oder turning point ist ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen dynamischen Systems.

Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation lautet

\dot{x}=\mu-x^2,

wobei \mu der Bifurkationsparameter ist.

Diese Normalform hat für \mu\geq0 Fixpunkte:

{x_{1/2}}^* = \pm\sqrt{\mu}.

Das bedeutet, es existiert für \mu<0 kein Fixpunkt, für \mu=0 genau ein Fixpunkt und sonst zwei. Der erste Fixpunkt ist stabil (Knoten), der zweite instabil (Sattel). Am Bifurkationspunkt \mu=0 kollidieren Sattel und Knoten. Betrachtet man ein System mit höherer Ordnung in x

\dot{x}=\mu-x^2+O(x^3),

so beeinflussen diese Terme in einer genügend kleinen Umgebung um den Sattel-Knoten-Punkt \mu=0 das Verhalten des Systems nicht. Das heißt, das System ist lokal topologisch äquivalent am Ursprung zur Normalform. Allgemein ist die Bifurkation dadurch charakterisiert, dass ein Eigenwert der Jacobimatrix D_x f(x,\mu) des dynamischen Systems \dot{x}=f(x,\mu) bei einem kritischen Wert des Bifurkationsparameters Null wird.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Yuri A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory (= Applied Mathematica Sciences. 112). 2. Auflage. Springer, 1995, ISBN 0387983821.