Saitenschwingung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Saitenschwingung, Grundschwingung und Obertöne

Die Saitenschwingung dient bei Saiteninstrumenten wie Geige, Gitarre oder Klavier zur Klangerzeugung. Nach Anregung durch Streichen, Zupfen oder Anschlag vollführt die Saite eine gedämpfte harmonische Schwingung, wobei sich eine stehende Transversalwelle ausbildet.

Physikalische Grundlagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit  der hin- und rücklaufenden Welle (nicht zu verwechseln mit der Schnelle , mit der die Saite schwingt) bestimmt sich auf homogenen (nicht umwickelten) Saiten aus Spannkraft , Saitendurchmesser  und Materialdichte (kg pro Kubikmeter)zu:

,

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit  einer Welle steht in Zusammenhang mit Wellenlänge  und Schwingungsperiode , bzw. der Frequenz  :

Mit der Saitenlänge  entsteht eine Grundschwingung, bei der die Schwingungsknoten an den Enden der Saite liegen, die Wellenlänge ist somit die doppelte Saitenlänge (). Für die Frequenz  gilt:


Wenn man an Stelle der Materialdichte den Massebelag (kg pro m) zu Grunde legt, erhält man für

Damit ergeben sich folgende Abhängigkeiten, die in Musikinstrumenten beim Stimmen oder Spielen auch praktisch genutzt werden:

  • je kürzer die (schwingende) Saitenlänge , desto höher die Frequenz (halbe Länge ergibt doppelte Frequenz).
  • je höher die Spannkraft , desto höher die Frequenz (vierfache Kraft ergibt doppelte Frequenz).
  • je dünner die Saite, desto höher die Frequenz (halber Durchmesser  ergibt doppelte Frequenz).

Es ist erkennbar, dass der Massebelag nur mit der Wurzel eingeht, das heißt, man muss eine Saite bis zur vierfachen Masse pro Länge umspinnen, um ihre Resonanzfrequenz zu halbieren. Daher werden Metalle mit hoher Dichte (Kupfer, Silber) dafür verwendet, um tiefe Töne mit kurzen, nicht zu dicken Saiten zu erreichen.

Saiten haben eine amplitudenabhängige Resonanzfrequenz, da sich die mittlere Spannkraft bei höherer Amplitude erhöht. Dieser Effekt tritt insbesondere bei geringer Spannkraft auf und führt dazu, dass insbesondere die tiefen Saiten eines Instrumentes etwas höher tönen, wenn sie stark angestrichen oder gezupft werden.

Die Schwingungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reale Saite schwingt mit nahezu unendlich vielen „harmonischen Oberschwingungen“, die in dem Bild bis zur siebenten Oberschwingung dargestellt sind. Ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.
Die Amplituden der Oberschwingungen, das sind ihre Schwingungsweiten, bestimmen den Klang, die so genannte Klangfarbe, der Schwingung. Die Verteilung der Amplituden über die Oberschwingungen nennt man das Frequenz-Spektrum des Klanges.

Schon Pythagoras hatte erkannt, dass die Länge der Saite (bei gleicher Spannkraft ), ihrer Frequenz, also der Tonhöhe, proportional ist: eine auf der Hälfte ihrer Länge gegriffene Saite schwingt mit doppelter Frequenz (Oktave). Aber erst die Entwicklung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz ermöglichte die theoretische Durchdringung der schwingenden Saite. Von Marin Mersenne[1] und Joseph Sauveur stammen die ersten Erklärungsversuche dazu. Brook Taylor[2] war der erste, der die physikalischen Bedingungen richtig interpretierte und zur Darstellung der Grundschwingung gelangte. Dabei hatte er erhebliche Schwierigkeiten zu überwinden, da ihm unser heutiges Differentialkalkül, insbesondere die partiellen Differentialgleichungen, noch nicht zur Verfügung standen. Zum Teil auf Taylors Arbeit aufbauend arbeiteten dann Johann Bernoulli[3], Jean-Baptiste le Rond d’Alembert[4], Leonhard Euler[5] und andere weiter an dem Problem. Was all die klugen Köpfe bis dahin nicht beachtet hatten, das bringt Daniel Bernoulli[6] schließlich zur vollständigen Lösung des Problems, nämlich die Erkenntnis der Existenz der Oberschwingungen (zwei Oberschwingungen hatte zwar auch Mersenne schon beschrieben, der Gedanke wurde aber nicht weiter verfolgt).

Daniel Bernoulli beschreibt Beobachtungen und Experimente mit verschiedenen Musikinstrumenten, Trompeten, Flöten und Saiteninstrumenten, und folgert daraus: „... dass alle schwingenden Körper eine Unmenge von Tönen von sich geben... In der Tat stimmen alle Musiker darin überein, dass eine gezupfte Saite außer ihrem Grundton zugleich auch noch andere, sehr viel hellere Töne von sich gibt... Dies ist der offensichtliche Beweis dafür, dass sich in einer und derselben Saite eine Überlagerung mehrerer Arten Taylorscher Schwingungen zugleich einstellen kann“[7]. Dieser "völlig neue und nicht nur das Problem der schwingenden Saite klärende, sondern auch die ganze mathematische Physik revolutionierende Gedanke Daniel Bernoullis war der Aufbau der allgemeinen Lösung durch Superposition [Überlagerung] von Einzellösungen".[8]

Euler hielt die Lösung von Bernoulli für unvollständig, da er nicht glaubte, dass sich jede Anfangssituation (die Art des Anreißens der Saite) zu einer Schwingung entwickeln könne, die durch die Summe geeigneter Sinus-Funktionen darstellbar sei. In der Tat wurde der Beweis dafür erst durch die Arbeiten von Joseph Fourier (Fourier-Analyse) zur Wärmelehre möglich.

Einer der Grundgedanken Brook Taylors war die (richtige) Annahme, dass die Krümmung in einem Punkt der Saite an einer beliebigen Stelle der Beschleunigung dieses Punktes proportional sei:[9]


Dabei ist die Funktion, welche die Lage der Saite am Ort und zum Zeitpunkt beschreibt und


ihre zweite partielle Ableitung nach der Zeit (die Beschleunigung an der Stelle zum Zeitpunkt ist ein noch unbestimmter Proportionalitätsfaktor).
Hätte Taylor die partiellen Differentialgleichungen gekannt, hätte er damit schon die Schwingungsgleichung der Saite aufstellen können.
Die Krümmung ist nämlich gegeben durch

Hier sind und die erste bzw. die zweite partielle Ableitung von nach .
Wenn die Saite nur sehr wenig aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird, kann man in guter Näherung setzen und man erhält Aus der obigen Proportionalitätsgleichung wird damit:


oder, ausführlicher

Das ist die partielle Differentialgleichung der schwingenden Saite. Die Gleichung beschreibt die ungedämpfte Schwingung, d. h. dass darin das Abklingen der Schwingung, also das allmähliche Leiserwerden des Tones, nicht berücksichtigt ist.

Aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen kennt man die Lösung:

 

 

 (Gl. 1)

 

Darin sind die unbekannten Größen noch zu bestimmen.

Bestimmung von und [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir bezeichnen die Länge der frei schwingenden Saite mit Die Saite ist bei und bei eingespannt, dort ist also für jede Zeit die Auslenkung


Da nicht konstant Null ist und unsinnig wäre (es würde die ruhende Saite darstellen) ist


wäre genauso unsinnig wie , also ist
Aus Gl. 1 wird also

 

 

 (Gl. 2)

 

Was für gilt, gilt genauso für :


Also ist und (mit beliebigem ), folglich Aus Gl 2. wird dann

 

 

 (Gl. 3)

 

Wenn wir davon ausgehen, dass die Saite zum Zeitpunkt ihre Ruhelage einnimmt, erhalten wir analog und aus Gl. 3 wird

 

 

 (Gl. 4)

 

ist offenbar eine Kreisfrequenz, wir setzen mit noch unbestimmter Schwingungsdauer
So erhalten wir

 

 

 (Gl. 5)

 

Die sind für jedes eine Lösung der Gl. 1, also auch die Summe aller
D. h. dass

 

 

 (Gl. 6)

 

die vollständige Lösung der Gl. 1 mit noch unbestimmtem ist. Die sind die Amplituden der Oberschwingungen. Sie hängen von vielen Faktoren ab, z. B. vom Material der Saite (Stahl, Darm, Kunststoff), umsponnen oder nicht, von der Spannung der Saite, von der Art des Anreißens der Seite (Daumen oder Plektron), vom Ort des Anreißens (in der Mitte oder über dem Schalloch) und, ganz wichtig, von Form, Größe und Material des Klangkörpers, um nur einige zu nennen. Außerdem klingt der Ton bald ab, d. h. dass die immer kleiner und schließlich alle Null werden. Und zudem werden sie verschieden stark gedämpft, sie klingen also nicht alle in derselben Weise ab, der Ton kann unmittelbar nach dem Anreißen anders klingen als etwas später. Über die kann also nichts Allgemeines ausgesagt werden.

Bestimmung von [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu der Aussage über die Frequenz der Schwingung bzw. ihrer Schwingungsdauer gelangt man durch den bekannten Zusammenhang zwischen der Frequenz , der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle :


Aus der Elastizitätstheorie kennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einer gespannten Saite (s. ganz oben):


Für die Grundschwingung ist


Mit erhalten wir aus :


also


oder


Zur Erinnerung: ist die Frequenz der Grundschwingung, ist ihre Schwingungsdauer, die Länge der Saite, ihr Durchmesser, ihre Dichte, also Masse pro Länge, und die Spannkraft der Saite. Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Marin Mersenne, Harmonicorum libri, 1636.
  2. Brook Taylor, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, London, 1717, als digitale Ausgabe bei der Staatsbibliothek Hamburg erhältlich.
  3. Johann Bernoulli, Meditationes de cordis vibrantibus, Opera Omina, Tom. II.
  4. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, Histoire de l'academie Royale de science et belle lettre année, 1747.
  5. Leonhard Euler, Sur la vibration de cordes, Histoire de l'academie Royale de science et belle lettre année, 1748.
  6. Daniel Bernoulli, Reflexions et Eclaircissemens sur le nouvelles vibrations des cordes, Histoire de l'Académie de Berlin IX, 1753.
  7. Daniel Bernoulli, ebenda, S. 181.
  8. István Szabó, Geschichte der mechanischen Prinzipien, S. 339.
  9. Brook Taylor, ebenda, Lemma IX, S. 88.