Saitenschwingung

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Saitenschwingung, Grundschwingung und Obertöne

Die Saitenschwingung dient bei Saiteninstrumenten wie Geige, Gitarre oder Klavier zur Klangerzeugung. Nach Anregung durch Streichen, Zupfen oder Anschlag vollführt die Saite eine gedämpfte harmonische Schwingung, wobei sich eine stehende Transversalwelle ausbildet.

Physikalische Grundlagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit  der hin- und rücklaufenden Welle (nicht zu verwechseln mit der Schnelle , mit der die Saite schwingt) bestimmt sich auf homogenen (nicht umwickelten) Saiten aus Spannkraft , Saitendurchmesser  und Materialdichte (kg pro Kubikmeter)zu:

,

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit  einer Welle steht in Zusammenhang mit Wellenlänge  und Schwingungsperiode , bzw. der Frequenz  :

Mit der Saitenlänge  entsteht eine Grundschwingung, bei der die Schwingungsknoten an den Enden der Saite liegen, die Wellenlänge ist somit die doppelte Saitenlänge (). Für die Frequenz  gilt:


Wenn man an Stelle der Materialdichte den Massebelag (kg pro m) zu Grunde legt, erhält man für

Damit ergeben sich folgende Abhängigkeiten, die in Musikinstrumenten beim Stimmen oder Spielen auch praktisch genutzt werden:

  • je kürzer die (schwingende) Saitenlänge , desto höher die Frequenz (halbe Länge ergibt doppelte Frequenz).
  • je höher die Spannkraft , desto höher die Frequenz (vierfache Kraft ergibt doppelte Frequenz).
  • je dünner die Saite, desto höher die Frequenz (halber Durchmesser  ergibt doppelte Frequenz).

Es ist erkennbar, dass der Massebelag nur mit der Wurzel eingeht, das heißt, man muss eine Saite bis zur vierfachen Masse pro Länge umspinnen, um ihre Resonanzfrequenz zu halbieren. Daher werden Metalle mit hoher Dichte (Kupfer, Silber) verwendet, um tiefe Töne mit kurzen, nicht zu dicken Saiten zu erreichen.

Saiten haben eine amplitudenabhängige Resonanzfrequenz, da sich die mittlere Spannkraft bei größeren Amplituden erhöht. Dieser Effekt tritt insbesondere bei geringer Spannkraft auf und führt dazu, dass die tiefen Saiten eines Instrumentes höher tönen, wenn sie stark angestrichen oder gezupft werden.

Die Schwingungsgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung zur Herleitung der Wellengleichung der ungedämpften, transversalen Saitenschwingung

Eine reale Saite schwingt mit nahezu unendlich vielen „harmonischen Oberschwingungen“, die in dem Bild bis zur siebenten Oberschwingung dargestellt sind. Ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.
Die Amplituden der Oberschwingungen, das sind ihre Schwingungsweiten, bestimmen den Klang, die so genannte Klangfarbe der Schwingung. Die Verteilung der Amplituden über die Oberschwingungen nennt man das Frequenz-Spektrum des Klanges.

Schon Pythagoras hatte erkannt, dass die Länge der Saite (bei gleicher Spannkraft ), ihrer Frequenz, also der Tonhöhe, proportional ist: Eine auf der Hälfte ihrer Länge gegriffene Saite schwingt mit doppelter Frequenz (Oktave). Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz ermöglichte eine umfassendere theoretische Beschreibung einer schwingenden Saite. Von Marin Mersenne[1] und Joseph Sauveur stammen die ersten Erklärungsversuche dazu. Brook Taylor[2] war der erste, der zu einer Darstellung der Grundschwingung gelangte, obwohl ihm die heutigen Methoden zum Aufstellen und Lösen von partiellen Differentialgleichungen noch nicht zur Verfügung standen. Zum Teil auf Taylors Arbeit aufbauend arbeiteten unter anderem Johann Bernoulli[3], Jean-Baptiste le Rond d’Alembert[4], Leonhard Euler[5] weiter an dem Problem. Durch die Erkenntnis der Existenz der Oberschwingungen, gelangt Daniel Bernoulli[6] zur vollständigen Lösung des Problems. Zwei Oberschwingungen hatte zwar auch Mersenne schon beschrieben, der Gedanke wurde aber nicht weiter verfolgt.

Daniel Bernoulli beschreibt Beobachtungen und Experimente mit verschiedenen Musikinstrumenten, Trompeten, Flöten und Saiteninstrumenten, und folgert daraus: „... dass alle schwingenden Körper eine Unmenge von Tönen von sich geben... In der Tat stimmen alle Musiker darin überein, dass eine gezupfte Saite außer ihrem Grundton zugleich auch noch andere, sehr viel hellere Töne von sich gibt... Dies ist der offensichtliche Beweis dafür, dass sich in einer und derselben Saite eine Überlagerung mehrerer Arten Taylorscher Schwingungen zugleich einstellen kann“[7]. Dieser „völlig neue und nicht nur das Problem der schwingenden Saite klärende, sondern auch die ganze mathematische Physik revolutionierende Gedanke Daniel Bernoullis war der Aufbau der allgemeinen Lösung durch Superposition [Überlagerung] von Einzellösungen“.[8]

Euler hielt die Lösung von Bernoulli für unvollständig, da er nicht glaubte, dass sich jede Anfangssituation (die Art des Anreißens der Saite) zu einer Schwingung entwickeln könne, die durch die Summe geeigneter Sinus-Funktionen darstellbar sei. In der Tat wurde der Beweis dafür erst durch die Arbeiten von Joseph Fourier (Fourier-Analyse) zur Wärmelehre möglich.

Ein Grundgedanke von Brook Taylors war die (richtige) Annahme, dass die Krümmung in einem Punkt der Saite an einer beliebigen Stelle der Beschleunigung dieses Punktes proportional sei:[9]


Dabei ist die Funktion, welche die Lage der Saite am Ort und zum Zeitpunkt beschreibt und


ihre zweite partielle Ableitung nach der Zeit (die Beschleunigung an der Stelle zum Zeitpunkt , ist ein noch unbestimmter Proportionalitätsfaktor).
Die Krümmung ist gegeben durch

Hier sind und die erste bzw. die zweite partielle Ableitung von nach .
Wenn die Saite nur wenig aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird, lässt sich in guter Näherung setzen und man erhält Aus der obigen Proportionalitätsgleichung wird damit:


oder, ausführlicher

Das ist die partielle Differentialgleichung der schwingenden Saite, bekannt als D'Alembert oder homogene Wellengleichung. Die Gleichung beschreibt ungedämpfte Schwingungen, d. h. dass darin das Abklingen einer Schwingung, also das Leiserwerden des Tones, nicht berücksichtigt ist.

Die Lösung

 

 

 (Gl. 1)

 

ist aus der Theorie partieller Differentialgleichungen bekannt. Darin sind die unbekannten Größen noch zu bestimmen.

Bestimmung von und [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir bezeichnen die Länge der frei schwingenden Saite mit Die Saite ist bei und bei eingespannt, dort ist für jede Zeit die Auslenkung


Da nicht konstant Null ist und unsinnig wäre (es würde die ruhende Saite darstellen) ist


wäre genauso unsinnig wie , also ist
Aus Gl. 1 wird also

 

 

 (Gl. 2)

 

Was für gilt, gilt genauso für :


Also ist und (mit beliebigem ), folglich Aus Gl 2. wird dann

 

 

 (Gl. 3)

 

Wenn die Saite zum Zeitpunkt ihre Ruhelage einnimmt, erhalten wir analog und aus Gl. 3 wird

 

 

 (Gl. 4)

 

ist offenbar eine Kreisfrequenz, wir setzen mit noch unbestimmter Schwingungsdauer So erhalten wir

 

 

 (Gl. 5)

 

Die sind für jedes eine Lösung der Gl. 1, also auch die Summe aller
D. h. dass

 

 

 (Gl. 6)

 

die vollständige Lösung der Gl. 1 mit noch unbestimmtem ist. Die sind die Amplituden der Oberschwingungen. Sie hängen z. B. vom Material der Saite (Stahl, Darm, Kunststoff), umsponnen oder nicht, von der Spannung der Saite, von der Art des Anreißens der Seite (Daumen oder Plektron), vom Ort des Anreißens (in der Mitte oder über dem Schalloch) und von Form, Größe und Material des Klangkörpers ab. Außerdem klingt der Ton ab, d. h. dass die Amplituden kleiner werden. Die einzelnen Amplituden werden im Allgemeinen verschieden stark gedämpft, sie klingen also nicht alle in derselben Weise ab, der Ton kann unmittelbar nach dem Anreißen anders klingen als etwas später.

Bestimmung von [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu der Aussage über die Frequenz der Schwingung bzw. ihrer Schwingungsdauer gelangt man durch den Zusammenhang zwischen der Frequenz , der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle:

Aus der Elastizitätstheorie kennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einer gespannten Saite (s. ganz oben):


Für die Grundschwingung

ist

die Wellenlänge Mit erhalten wir aus :


also


oder


Zur Erinnerung: ist die Frequenz der Grundschwingung, ist ihre Schwingungsdauer, die Länge der Saite, ihr Durchmesser, ihre Dichte, also Masse pro Länge, und die Spannkraft der Saite. Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.

Mathematische Beschreibung der gezupften Saite[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungedämpfte Schwingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden ist ein Anfangs-Randwert-Problem (ARWP) der d'Alembert-Gleichung als Modell der ungedämpften Saitenschwingung dargestellt:

Die Lösung entspricht der Auslenkung der Saite am Ort zum Zeitpunkt . Die Randwerte (RWP) geben vor, dass die Saite am Rand eingespannt ist. Die Anfangswerte (AWP) zum Zeitpunkt werden durch die Funktion beschrieben und die Anfangsgeschwindigkeit wird zu Null gesetzt.

Die Lösung dieses ARWP der d'Alembert-Gleichung lässt sich wie folgt mit der Fourier-Reihe, in der alle ausbreitungsfähigen Schwingungsformen (Moden) aufsummiert werden, beschreiben:

Nun ist es daran festzulegen und die Fourier-Koeffizienten zu berechnen:

Im nebenstehenden Bild ist zur Beschreibung der gezupften Saite graphisch dargestellt. Man muss diese Funktion für den Bereich periodisch definieren um die richtigen Fourier-Koeffizienten zu erhalten. Die eigentliche Saite schwingt jedoch im Bereich . Der Parameter dient dazu die Anzupf-Position prozentual zu variieren.

Anfangswertproblem der gezupften Saite g(x).

Dabei erhält man folgende Fourier-Koeffizienten:

Zusammengesetzt sieht die Lösung dann wie folgt aus:

Animation der Schwingung der gezupften Saite mit b=0,8; c=1; h0= 1; L=1. Diese Animation wurde mit 200 Gliedern der Fourier-Reihe berechnet.

Nebenstehend ist eine Animation dieser Formel zu sehen. Dabei wurden jeweils 200 Glieder der Fourier-Reihe berechnet. Um diese Formel im Computer eingeben zu können kann man sie wie folgt diskretisieren, wobei die Anzahl der Punkte in x-Richtung und die Schrittweite in x-Richtung darstellt. ist die Anzahl der Fourier-Glider.

Gedämpfte Schwingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der gedämpften Schwingung enthält die partielle Differentialgleichung eine zusätzliche zeitliche Ableitung 1. Ordnung. Im Folgenden ist die Schwingungsgleichung als (ARWP) zu sehen:

Die Lösung dieses Anfangs-Randwert-Problem ähnelt der Lösung der ungedämpften Schwingung bis auf eine abklingende e-Funktion und eine andere zeitliche Kreisfrequenz. Zur weiteren Vervollständigung kann man noch eine zeitabhängige Sprungfunktion (Heaviside) hinzumultiplizieren, welche den negativen Zeitbereich der Schwingung ausblendet. Dies beschreibt, dass die Saite zum Zeitpunkt angeschlagen wird.

Animation der gedämpften Saitenschwingung mit L = 2; b = 0,8; c0 = 20; h0 = 0,1 und α = 0,3.

Die Fourier-Koeffizienten sind in diesem Fall exakt dieselben wie bei der ungedämpften Schwingung, da zum Zeitpunkt die Auslenkung der Saite gleich ist. Somit lässt sich die Funktion wie folgt darstellen:

In der nebenstehenden Grafik ist eine Animation dieser Formel zu sehen. Dabei wurden 200 Glieder der Fourier-Reihe berechnet und 200 Punkte in x-Richtung. Die verwendeten Parameter sind unterhalb angegeben. Möchte man die Animation anschauen, so sollte man die Grafik anklicken.

Intermodendispersion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zur ungedämpften Schwingung, bei der alle Moden die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit haben, unterscheiden sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Schwingungsform. Aufgrund der verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten gibt es gleichermaßen unterschiede in der Laufzeit der Wellen. Durch diesen Effekt verschwimmt die Grundform der angeregten Schwingung mit der Zeit immer mehr. Die Grundform zerfließt quasi wie Eis in der Sonne. Ist der Dämpfungsfaktor relativ klein, so ist dieser Effekt schwächer als bei großer Dämpfung. Im nachfolgenden ist die Formel der Ausbreitungsgeschwindigkeit zu sehen:

Spektralanalyse (Fouriertransformation)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen wir installieren nun an der Stelle einen idealen Tonabnehmer, welcher die Schwingungsform der Saite an genau dieser Stelle in ein elektrisches Signal umwandelt. Dieses Signal könnte man sich nun mit einem Oszilloskop im Zeitbereich und im Frequenzbereich (Spektralbereich) anschauen. Im Zeitbereich wäre dann eine abklingende Kosinus-Schwinung zu sehen und im Spektralbereich die im Signal enthaltene Grundschwingung und die Oberschwingungen. Um nun das theoretische Frequenzspektrum zu erhalten, muss man die Fouriertransformation auf die zuvor hergeleitete Funktion anwenden.

Für verschwindet das Integral aufgrund der Heaviside-Funktion, wodurch man die untere Integrationsgrenze zu Null setzt. Die Lösung sieht dann folgendermaßen aus:

In der folgenden Tabelle sind Hörbeispiele mit verschiedenen Anschlagspositionen und die zugehörigen Betragsspektren enthalten. Dabei ist festzustellen, dass sich durch Variation der Anschlags- oder Tonabnehmerposition die Klangfarbe ändert. Schlägt man am Saitenende an, so hört sich der Ton metallisch an. Schlägt man hingegen im mittleren Bereich der Saite an, so klingt der Ton sanfter. Vergleicht man dies mit einem realen Musikinstrument, ist dasselbe Verhalten zu hören. Schaut man sich die Graphen der Betragsspektren an, so sind die nach oben zeigenden Peaks die im Signal enthaltenen Obertöne. Daran ist zu erkennen, dass die jeweilige Klangfarbe dadurch entsteht welche Obertöne im akustischen Signal enthalten sind.

Zeitfunktion u(x,t) an der Stelle x = 0,2. Die Grundfrequenz liegt bei ca. f1 = 440 Hz. Weitere Parameter: L = 2; c0 = 1760; α = 2.
Anzupf Position b Akustische Wiedergabe Plot der Betrags-Spektren
0,1
Spektrum Saitenschwingung neu.png
0,2
0,3
0,4
0,5

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Marin Mersenne, Harmonicorum libri, 1636.
  2. Brook Taylor, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, London, 1717, als digitale Ausgabe bei der Staatsbibliothek Hamburg erhältlich.
  3. Johann Bernoulli, Meditationes de cordis vibrantibus, Opera Omina, Tom. II.
  4. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, Histoire de l'academie Royale de science et belle lettre année, 1747.
  5. Leonhard Euler, Sur la vibration de cordes, Histoire de l'academie Royale de science et belle lettre année, 1748.
  6. Daniel Bernoulli, Reflexions et Eclaircissemens sur le nouvelles vibrations des cordes, Histoire de l'Académie de Berlin IX, 1753.
  7. Daniel Bernoulli, ebenda, S. 181.
  8. István Szabó, Geschichte der mechanischen Prinzipien, S. 339.
  9. Brook Taylor, ebenda, Lemma IX, S. 88.