Pisot-Zahl

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Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl , für die gilt, dass ihre Konjugierten , …, ohne selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von ) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: . Mit „=“ statt „<“, also , erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Potenzen einer Pisot-Zahl liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen mit = 0, 1, 2, … und diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein , das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen der algebraischen Gleichungen

für = 2, 3, …, eine Folge mit . Insbesondere ist die Goldene Zahl

= 1,61803 39887 49894 84820 …[1]

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

= 1,32471 79572 44746 02596 …,[2]

die reelle Lösung von , und

= 1,38027 75690 97614 11567 …,[3]

die positive reelle Lösung von .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Folge A001622 in OEIS
  2. Folge A060006 in OEIS
  3. Folge A086106 in OEIS
  4. siehe auch Michel Mendès-France: Book Review, Bulletin of the AMS 29, 1993, S. 274–278