Sattelpunkt

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Sattelpunkt von y = x3 in (0,0)

In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, der kein Extrempunkt ist. Punkte dieser Art sind, wie die zuletzt genannte Bezeichnung es andeutet, Spezialfälle von Wendepunkten. Sattelpunkte spielen beispielsweise eine große Rolle bei der Optimierung unter Nebenbedingungen bei Verwendung der Lagrange-Dualität.

Eindimensionaler Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sattelpunkt von y = x · | x | in (0,0).

Für Funktionen einer Veränderlichen mit ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle nicht gleich 0, so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muss die 2. Ableitung 0 sein, wenn sie existiert. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung (für zweimal stetig differenzierbare Funktionen), wie man an der Funktion sieht.

Umgekehrt gilt (hinreichende Bedingung): Sind die ersten beiden Ableitungen gleich 0 und die 3. Ableitung ungleich 0, so liegt ein Sattelpunkt vor; es handelt sich also um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Dieses Kriterium lässt sich verallgemeinern: Gilt für ein

sind also die ersten Ableitungen gleich 0 und die -te Ableitung ungleich 0, so hat der Graph von bei einen Sattelpunkt.

Die genannte Bedingung ist allerdings nicht notwendig. Auch wenn ein Sattelpunkt an der Stelle vorhanden ist, können alle Ableitungen gleich 0 sein.

Man kann einen Terrassenpunkt im eindimensionalen Fall als einen Wendepunkt mit Tangente parallel zur x-Achse interpretieren.

Beispiel für eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) mit zwei Sattelpunkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ganzrationale Funktion 5. Grades mit zwei Sattelpunkten in (−2, −34) und (1, 47)

Bereits ganzrationale Funktionen 5. Grades können zwei Sattelpunkte haben, wie folgendes Beispiel zeigt:

Denn die 1. Ableitung hat zwei doppelte Nullstellen −2 und 1:

Für die 2. Ableitung

sind −2 und 1 ebenfalls Nullstellen, jedoch ist die 3. Ableitung

dort ungleich Null:

Deshalb sind und Sattelpunkte der Funktion .

Mehrdimensionaler Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sattelpunkt (rot) im Fall

Spezifikation über Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Funktionen mehrerer Veränderlicher (Skalarfelder) mit ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Die Bedingung bedeutet, dass an der Stelle alle partiellen Ableitungen null sind. Ist zusätzlich die Hesse-Matrix indefinit, so liegt ein Sattelpunkt vor.

Spezifikation direkt über die Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im generischen Fall – das bedeutet, dass die zweite Ableitung in keiner Richtung verschwindet oder, äquivalent, die Hessesche Matrix invertierbar ist – hat die Umgebung eines Sattelpunktes eine besondere Gestalt. Für den Fall, dass ein solcher Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben:

Ein Punkt ist ein Sattelpunkt der Funktion , falls eine offene Umgebung von existiert, sodass

Sattelpunkt im dreidimensionalen Raum (Animation).
bzw.

für alle erfüllt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionswert von in -Richtung kleiner wird, sobald der Sattelpunkt verlassen wird, während ein Verlassen des Sattelpunktes in -Richtung ein Ansteigen der Funktion zur Folge hat (bzw. umgekehrt). Diese Beschreibung eines Sattelpunktes ist Ursprung der Namensgebung: Ein Reitsattel neigt sich senkrecht zur Wirbelsäule des Pferdes nach unten, stellt also die -Richtung dar, während er in -Richtung, d.h. parallel zur Wirbelsäule, nach oben ausgeformt ist. Nach dem Reitsattel ist auch der Bergsattel benannt, dessen Gestalt ebenfalls der Umgebung eines Sattelpunkts entspricht.

Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer Koordinatentransformation ein.

Sattelpunkte dieses Typs existieren in Dimension 1 nicht: Falls hier die zweite Ableitung nicht verschwindet, liegt automatisch ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vor. Den Beispielen aus Dimension 1 entsprechen degenerierte kritische Punkte, wie zum Beispiel der Nullpunkt für die Funktion oder für : In beiden Fällen existiert eine Richtung, in der die zweite Ableitung verschwindet, und entsprechend ist die Hessesche Matrix nicht invertierbar.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

hat den Sattelpunkt : Ist , so ist für alle . Für ergibt sich

.

Dass ein Sattelpunkt von ist, lässt sich auch über das Ableitungskriterium beweisen. Es ist

und nach Einsetzen von ergibt sich . Die Hesse-Matrix zu ist

,

und nach Einsetzen des Sattelpunktes :

Da ein Eigenwert von positiv ist und einer negativ , ist die Hesse-Matrix indefinit, was nachweist, dass tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt.

Sonstige Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Definition im Fall von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen siehe Autonome Differentialgleichung.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]