Satz des Heron

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Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron’s formula).

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

und halbem Umfang

ist

 .

Ausführlicher Beweis siehe auch Wikibooks-Beweisarchiv

Andere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die heronische Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1)   .


Ausmultipliziert erhält man:

(V2)   .


Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

(V3)   ,[1]

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Determinantendarstellung ableiten:[2][3]

(V4)    [4]

Diese erhält man unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:

Weiterer Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

 ,

wobei hier der halbe Umfang

ist.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für die Herleitung der heronischen Formel gibt es viele Vorgehensweisen. Insbesondere lässt sie sich elementar mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes herleiten.[5][6] Es lässt sich auch leicht zeigen, dass die heronische Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind, also gegenseitig voneinander abgeleitet werden können.[7]
  2. Neben der Zuweisung der Formel an Heron von Alexandria gibt es auch eine Zuweisung, der zufolge sie auf Archimedes zurückgeht.[8]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2, F–K. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2.
  • Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen beliebig vertauschen lassen.
  2. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 380–381 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  3. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 111.
  4. Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.
  5. Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1, S. 324.
  6. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 99–100.
  7. Zum Beweis siehe hier!
  8. Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2, F–K. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 389.