Satz vom abgeschlossenen Graphen

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Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und Banachräume und ein linearer Operator. Es bezeichne den Graphen von .

Dann ist genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn ein abgeschlossener Operator ist (d. h. abgeschlossen in ).

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann auf das Lemma von Zabreiko zurückgeführt werden.

Ferner kann der Satz wie folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung hergeleitet werden. Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist ein Banachraum. Trivialerweise ist eine bijektive, lineare, beschränkte Abbildung zwischen und . Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung ebenfalls beschränkt ist, und das impliziert die Stetigkeit von .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]