Satz von Bézout

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In der Algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bézout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er wurde von Étienne Bézout im 18. Jahrhundert formuliert und (im Rahmen der laxeren Ansprüche jener Zeit) bewiesen.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:

wobei die Schnittzahl bezeichnet.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zwei projektive ebene Kurven und schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in verschiedenen Punkten.
  • Für affine ebene Kurven und ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung .

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet wie folgt:

Seien , algebraische Varietäten vom Grad bzw. im -dimensionalen projektiven Raum . Ferner sei eine Varietät der Dimension .

Dann ist .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wikiversity: Ein Beweis des Satzes im ebenen Fall – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie, 1. Auflage, 2000, ISBN 978-3-528-03156-5, S. 145–146.