Satz von Banach-Steinhaus

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Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Satz von Banach-Steinhaus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und Banachräume und   mit   eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Operatornormenfolge ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen .
  2. Es existiert in eine dichte Teilmenge , so dass für jedes die Folge innerhalb konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Banachraum, ein normierter Raum und   mit   eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls punktweise konvergiert, so definiert   einen stetigen linearen Operator und es gilt

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Banachraum, ein normierter Vektorraum und eine Familie stetiger, linearer Operatoren von nach .

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

für alle

die gleichmäßige Beschränktheit

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter Verwendung des Baire’schen Kategoriensatzes:

Für sei . Nach Annahme ist die Vereinigung aller gleich .
Da jedes abgeschlossen ist, hat eines der einen inneren Punkt, das heißt, es gibt ein und ein , sodass
Für jedes mit gilt dann:
Also ist für alle , sodass eine gleichmäßige Schranke für die Menge ist.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
  • Die Vollständigkeit von ist eine wesentliche Voraussetzung in obiger Variante, um das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit anwenden zu können. Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
  • Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für lineare Operatoren auf tonnelierten Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist ein tonnelierter Raum, ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von nach ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf vollständigen metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Hirzebruch-Scharlau findet man die folgende sehr allgemeine Version des Beschränktheitprinzips im Kontext der vollständigen metrische Räume:[1]

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum und weiter eine Familie von stetigen reellwertigen Funktionen

 ,

welche punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

  .

Dann gibt es in eine nicht-leere offene Teilmenge derart, dass die Familie der auf eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung

genügt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf topologischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert darüber hinaus eine sehr weit reichende Verallgemeinerung für stetige reellwertige Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen. Diese ist Inhalt des Satzes von Osgood in der Funktionalanalysis.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hirzebruch, Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 22