Satz von Castigliano

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Der Satz von Castigliano (nach Carlo Alberto Castigliano) ist Grundlage für verschiedene Berechnungsmethoden in der technischen Mechanik. Er beruht auf einem Energieansatz und ermöglicht die relativ einfache Berechnung ausgewählter Größen.

Satz von Castigliano[Bearbeiten]

Die partielle Ableitung der in einem linear elastischen Körper gespeicherten Formänderungsenergie nach der äußeren Kraft ergibt die Verschiebung v_k des Kraftangriffspunktes in Richtung dieser Kraft. Analog ergibt die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einem Moment die Verdrehung \varphi_k des Balkens am Angriffspunkt dieses Momentes. Um die Durchbiegung an Stellen ohne Krafteinwirkung mit dem Satz von Castigliano bestimmen zu können, müssen an diesen Stellen Hilfskräfte eingeführt werden, die nach dem Ableiten zu Null gesetzt werden.

 \frac{\partial U}{\partial F_k} = v_k = \sum^n_{i=1} \int_{l_i} \left[\frac{M_{bxi}}{(EI_{xx})_i}\frac{\partial M_{bxi}}{\partial F_k} + \frac{M_{byi}}{(EI_{yy})_i}\frac{\partial M_{byi}}{\partial F_k} + \frac{M_{ti}}{(GI_t)_i}\frac{\partial M_{ti}}{\partial F_k} + \frac{F_{Li}}{(EA)_i}\frac{\partial F_{Li}}{\partial F_k} + \kappa_{xi}\frac{F_{Qxi}}{(GA)_i}\frac{\partial F_{Qxi}}{\partial F_k} + \kappa_{yi}\frac{F_{Qyi}}{(GA)_i}\frac{\partial F_{Qyi}}{\partial F_k}\right]ds_i

\frac{\partial U}{\partial M_k} = \varphi_k =\ldots

U = U(q_1, \dots , q_n) = Verzerrungsenergie (Formänderungsenergie)

i = Anzahl der Bereiche

l_i = Längen der Bereiche

F_k = verallgemeinerte Kraft

M_k = verallgemeinertes Moment

F_{Qxi}, F_{Qyi} = Querkräfte

F_{Li} = Längskräfte

M_{bxi}, M_{byi} = Biegemomente

M_{ti} = Torsionsmoment

\kappa_x, \kappa_y = Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts

q_i = verallgemeinerte Arbeitswege

s_i = lokale Koordinaten mit 0\le s_i\le l_i

Satz von Menabrea[Bearbeiten]

Der Satz von Castigliano kann auch zur Berechnung statisch unbestimmter Größen verwendet werden. In dieser speziellen Form wird er dann als Satz von Menabrea bezeichnet. Der Satz von Menabrea besagt, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbestimmten Lagerreaktion gleich Null ist.

 \frac{\partial U^*}{\partial X_i} = 0 mit  i=1,\dots,n

 X_i = statisch unbestimmte Größen (deren Arbeitsweg jeweils Null sein muss)

U^* = U^*(X_1, \dots , X_n) = innere Ergänzungsenergie

Literatur[Bearbeiten]

  • Castigliano, Carlo Aberto: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879.
  • Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper. 2. Auflage. Springer-Verlag, Wien 1995, ISBN 3-211-80777-2
  • Jens Wittenburg, Eduard Pestel: Festigkeitslehre - Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-42099-1
  • Dietmar Gross, Werner Hauger, Walter Schnell: Technische Mechanik 1. Statik. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-43850-5
  • Herbert Balke: Einführung in die Technische Mechanik - Festigkeitslehre. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-37890-7

Weblinks[Bearbeiten]