Satz von Euler (Geometrie)

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In der Geometrie liefert der Satz von Euler, benannt nach Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

Dabei bezeichnet den Umkreisradius und den Inkreisradius.

Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz von Euler.svg

Es seien der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt des Dreiecks . Die Gerade schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt , der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten () mit dem Umkreis sei . Bezeichnet man den Fußpunkt des von aus gefällten Lotes zu mit , dann gilt .

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln ( (Umfangswinkelsatz) und (Lot und Satz des Thales)) sind die Dreiecke und zueinander ähnlich. Daher gilt und weiter . Damit ist gezeigt:

Verbindet man mit , so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel () eines Dreiecks () so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

,

woraus sich ergibt. Dreieck ist also gleichschenklig; es gilt . Aus dem schon Bewiesenen erhält man

.

Nun seien und die Schnittpunkte der Geraden mit dem Umkreis. Anwendung des Sehnensatzes ergibt

.

Die Streckenlängen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius und die Entfernung ausdrücken:

Durch eine kurze Umformung erhält man die Behauptung:

Verwandte Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Radius des zur Seite gehörigen Ankreises, so gilt für die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt dieses Ankreises und dem Umkreismittelpunkt:

Entsprechendes gilt für die beiden anderen Ankreise.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]