Satz von Euler (Geometrie)

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Satz von Euler:

In der Geometrie bezeichnet der Satz von Euler, benannt nach Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

Diese Beziehung wird auch oft mit Hilfe von Brüchen in der folgenden äquivalenten Gleichung dargestellt:

Dabei bezeichnet den Umkreisradius und den Inkreisradius.

Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skizze zum Beweis

Es seien der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt des Dreiecks . Die Gerade schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt , der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten () mit dem Umkreis sei . Bezeichnet man den Fußpunkt des von aus gefällten Lotes zu mit , dann gilt .

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln ( (Umfangswinkelsatz) und (Lot und Satz des Thales)) sind die Dreiecke und zueinander ähnlich. Daher gilt und weiter . Damit ist gezeigt:

Verbindet man mit , so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel () eines Dreiecks () so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

,

woraus sich ergibt. Dreieck ist also gleichschenklig; es gilt . Aus dem schon Bewiesenen erhält man

.

Nun seien und die Schnittpunkte der Geraden mit dem Umkreis. Anwendung des Sehnensatzes ergibt

.

Die Streckenlängen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius und die Entfernung ausdrücken:

Durch eine kurze Umformung erhält man die Behauptung:

Verwandte Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Radius des zur Seite gehörigen Ankreises, so gilt für die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt dieses Ankreises und dem Umkreismittelpunkt:

Entsprechendes gilt für die beiden anderen Ankreise.

Der Satz von Fuss liefert eine zum Satz von Euler analoge Aussage für Sehnentangentenvierecke.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz ist nach Euler benannt, der ihn 1765 publizierte. Der englische Landvermesser William Chapple hatte allerdings dasselbe Resultat bereits 1746 in einer englischen Zeitschrift veröffentlicht.

Die eulersche Ungleichung in der absoluten Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die eulersche Ungleichung, in der Form, die behauptet, dass das Maximum der Inkreisradien aller Dreiecke, die in einem gegebenen Kreis eingeschrieben sind, nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht wird, ist gültig in der absoluten Geometrie.[1]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 137–140 (Auszug (Google))
  • Gerry Leversha, G. C. Smith: Euler and Triangle Geometry. In: The Mathematical Gazette, Vol. 91, No. 522, Nov., 2007, S. 436–452 (JSTOR 40378417)
  • Roger B. Nelsen: Euler’s Triangle Inequality via Proofs without Words. In: Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 1, Feb., 2008, S. 58–61 (JSTOR 27643082)
  • Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry, Vol. 109, Art. 8, 2018, S. 1–11

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry Bd. 109, 2018, Art. 8, S. 1–11.

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]