Satz von Gelfand-Mazur

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Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass die einzige -Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine -Banachalgebra mit Einselement . Dann gibt es zu jedem ein , so dass nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller , für die nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von . Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer -Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, sei für jedes invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene

Man wende nun ein beliebiges an und teile obige Gleichung durch . Es folgt

.

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für , denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in sind stetig und ist stetig. Daher ist die Funktion holomorph auf ganz . Sie verschwindet im Unendlichen, denn und ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz gleich sein. Da beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass , aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die -Banachalgebra ein Schiefkörper, so ist .

Ist nämlich , so gibt es nach obigem Lemma ein , so dass nicht invertierbar ist. Da das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss sein. Also ist jedes Element von ein -Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)