Satz von Green

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Dieser Artikel behandelt einen Green'schen Integralsatz der Ebene. Weitere nach George Green benannte Sätze siehe unter Greensche Formeln.

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green, gelegentlich auch Satz von Gauß-Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kompaktum D in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C.

Sei D ein Kompaktum in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand (siehe Abbildung). Weiter seien stetige Funktionen mit den ebenfalls auf D stetigen partiellen Ableitungen und . Dann gilt:

Dabei bedeutet das Kurvenintegral entlang von , also , falls durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve beschrieben wird. Analog wird definiert.

Sonderfall Wegunabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den speziellen Fall, dass der Integrand im Kurvenintegral rechts das totale Differential einer skalaren Funktion darstellt, d. h. es ist und , folgt nach dem Satz von Schwarz (Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen von nach und ), dass

sein muss. Damit wird , so dass das Flächenintegral links und damit das Kurvenintegral rechts über den geschlossenen Weg gleich null werden, d. h. der Wert der Funktion hat sich nicht verändert.

Solche wegunabhängigen zweidimensionalen Funktionsänderungen treten beispielsweise in der Thermodynamik bei der Betrachtung von Kreisprozessen auf, wobei dann dort für die innere Energie oder die Entropie des Systems steht.

Für dreidimensionale skalare Potentialfelder , wie sie in der Mechanik z. B. das konservative Kraftfeld eines Newton'schen Gravitationspotential beschreiben, kann die Wegunabhängigkeit über den allgemeineren Satz von Stokes ähnlich bewiesen werden.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man und , so lauten die partiellen Ableitungen und . Die Integrale beschreiben dann den Flächeninhalt von D, der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann:

Wählt man und , so erhält man analog

Flächenschwerpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man und , so lauten die partiellen Ableitungen und . Dann kann man die x-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche D durch ein Kurvenintegral berechnen:

Entsprechend erhält man mit und für die y-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche D:

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Flächenmomente höherer Ordnung zu bestimmen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]