Satz von Krein-Milman

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein lokalkonvexer Raum und eine kompakte und konvexe Teilmenge von ihm, so ist gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte.

Dieser Satz hat eine teilweise Umkehrung, die oft Satz von Milman genannt wird: Ist eine kompakte, konvexe Menge und ist , so dass die abgeschlossene konvexe Hülle von ist, so muss der Abschluss von alle Extremalpunkte von enthalten.

Der Satz von Choquet verschärft den Satz von Krein-Milman. In endlichdimensionalen Räumen gilt mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory eine noch wesentlich schärfere, dimensionsabhängige Aussage.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Banachraum der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index mit , denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun definiert durch für und , so ist und und , das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von keine Extremalpunkte und kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.