Satz von Lehmann–Scheffé

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Der Satz von Lehmann-Scheffé ist ein zentrales Resultat der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die auf dem Satz von Rao-Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien, unter denen erwartungstreue Punktschätzer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer sind, also eine geringere Varianz als alle weiteren erwartungstreuene Schätzer besitzen.

Der Satz ist nach Erich Leo Lehmann und Henry Scheffé benannt.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Lehmann-Scheffé lässt sich auf unterschiedliche Weisen formulieren, die sich in ihrer Notation und den verwendeten Strukturen unterscheiden, inhaltlich aber identisch sind.

Für σ-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein statistisches Modell und sei die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion . Die Unter-σ-Algebra sei sowohl suffizient für als auch vollständig für .

Ist , dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung von bezüglich gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für . Sprich es gilt

und alle weiteren .

Für Statistiken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik ersetzt. Teils wird auch als notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann: ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für , sprich es ist

und alle weiteren .

Alternative Formulierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mögliche Umformulierungen der obigen Aussagen sind:

  • Ist suffizient und vollständig für und ist , so ist gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für .
  • Ist eine vollständige suffiziente Statistik und existiert ein , so dass ein erwartungstreuer Schätzer für ist, so ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für . Dies gilt, da . Setzt man nun in der obigen Aussage , so folgt diese Formulierung.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé ist der Satz von Barankin und Stein, der die Struktur lokal minimaler Schätzer beschreibt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]