Satz von Matsumoto

Der Satz von Matsumoto ist ein Lemma aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie, er gibt eine explizite Beschreibung für die zweite algebraische K-Theorie eines Körpers an. Der Satz ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Matsumoto Hideya.

Satz von Matsumoto

Es sei $F$ ein Körper und $K_{2}(F)$ seine zweite algebraische K-Theorie, dann gilt:

$K_{2}(F)=F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .$.

Anders gesagt: $K_{2}(F)$ ist isomorph zum Kokern der Dehn-Invariante

$D\colon \mathbb {Z} \left[F\setminus \left\{0,1\right\}\right]\to F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }$

$D(a):=a\otimes (1-a)$

Milnors K-Theorie (Historie)

Motiviert durch den Satz von Matsumoto definierte Milnor die später nach ihm benannte Milnors K-Theorie $K^{M}(F)$ von Körpern durch

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a))$,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe F^× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

$a\otimes (1-a)$

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Es gibt eine Abbildung

$K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F),$

die für $n=0,1$ und nach dem Satz von Matsumoto auch für $n=2$ ein Isomorphismus ist.

Für $n>2$ ist $K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)$ jedoch kein Isomorphismus, der Kokern

$K_{n}^{ind}(F):=\mathrm {Kokern} (K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F))$

ist die sogenannte indekomposable K-Theorie, die im Fall von Zahlkörpern gleich $K_{n}(F)$ ist.

Für $n=3$ ist $K_{3}^{ind}(F)$ modulo 2-Torsion zur Bloch-Gruppe isomorph.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. (= Graduate Texts in Mathematics. 147). Springer Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-94248-3.
• H. Matsumoto: Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. In: Ann.Sci.École Norm.Sup. Serie 4, Band 2, 1969, S. 1–62. (franz.)

Weblinks

• Dalawat: Some aspects of the functor K₂ of fields