Satz von Menelaos

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Fall 1
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Fall 2

Der Satz von Menelaos, benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos (Alexandria, etwa 100 n. Chr.), macht eine Aussage über Streckenverhältnisse, die beim Schnitt einer Geraden mit einem Dreieck entstehen.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade, welche die Dreiecksseiten [BC], [CA] und [AB] beziehungsweise ihre Verlängerungen in den Punkten X, Y und Z schneidet. Dann gilt:

Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern, dass die Punkte X, Y und Z auf einer Geraden liegen.

Hierbei ist das Teilverhältnis von , das für drei auf einer Geraden liegende Punkte mit definiert wird durch . Wenn zwischen und liegt, ist dieses Teilverhältnis gleich , andernfalls gleich .

Betrachtet man nur die Streckenlängen, so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben:

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Ceva.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zum Beweis des Satzes

Der Satz von Menelaos lässt sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen. Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade, die von den Ecken A, B und C ausgehen. Die Längen der Lotstrecken seien mit , und bezeichnet.

Aus dem Strahlensatz erhält man folgende Verhältnisgleichungen:

Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander, so ergibt sich

und weiter (durch Multiplikation mit dem Nenner)

.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium für kollineare Punkte. Eine Folgerung ist der Satz von Ceva.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff., S. 136 (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik)
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81
  • Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. In: Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 (JSTOR 2690569)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Menelaos's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien