Satz von Moivre-Laplace

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Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt,[1] ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für und Wahrscheinlichkeiten gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet.

Beim Satz von Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für , 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.[2]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien unabhängig und identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen, also für ein . Dann ist

binomialverteilt zum Parameter und , also . Dann gilt

in Verteilung.

Äquivalent dazu ist die Formulierung über die Verteilungsfunktionen

für alle .

Hierbei bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenähert werden kann.

Dabei formuliert man die obige Aussage durch eine Substitution um und erhält

für alle .

Damit kann der Wert der binomialverteilten Zufallsvariable über die Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden. Diese entnimmt man üblicherweise einer Tabelle.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen wenn und die folgende Bedingung erfüllen:[3]

Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die aus dem Einführen von Korrekturtermen besteht und den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit und , damit gilt folglich . Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert und einer Varianz .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 223, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  2. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  3. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]