Satz von Moivre-Laplace

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Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt,[1] ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für und Wahrscheinlichkeiten gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei Hypothesentests Anwendung findet.

Beim Satz von Moivre-Laplace, der nach Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace benannt ist, handelt es sich um einen Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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Ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter und , dann gilt

für alle . Mit Hilfe einer Substitution sieht man, dass

für alle . Dabei steht für die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, die auch als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnet wird. Werte für entnimmt man üblicherweise einer Tabelle.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen wenn und die folgende Bedingung erfüllen:[2]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit und , damit gilt folglich . Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert und einer Varianz .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenähert werden kann.

Einzelnachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 223, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  2. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]