Satz von Montel

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Der Satz von Montel (nach Paul Montel) ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Er beschäftigt sich mit der Fragestellung, wann eine Funktionenfolge holomorpher Funktionen eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. In diesem Sinne ist er das Analogon zum Satz von Bolzano-Weierstraß für Zahlenfolgen. Er wurde von Paul Montel im Jahre 1916 gefunden.[1]

Aussage des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlegend für die Formulierung ist das von Montel eingeführte Konzept der normalen Familie: Eine Familie holomorpher Funktionen heißt normal, wenn jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. Dabei wird Konvergenz bezüglich der sphärischen Metrik betrachtet, insbesondere ist Konvergenz gegen zugelassen.

Kleiner Satz von Montel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen ist normal.

Großer Satz von Montel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Familie von in einem Gebiet holomorphen Funktionen und seien , . Für alle und gelte . Dann ist normal.

Der kleine Satz von Montel folgt unmittelbar aus dem großen. Einen vergleichsweise einfachen Beweis des großen Satzes findet man in einem Artikel von Lawrence Zalcman.[2]

Beweis des kleinen Satzes von Montel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Beweis des kleinen Satzes von Montel benötigt man zunächst folgendes Lemma:

Lemma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sei eine auf einem Gebiet holomorphe und lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge. Die Menge liege dicht in .

Dann ist kompakt konvergent.

Beweis (Lemma)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wollen zeigen:

wobei die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius bezeichnet.

Da die Funktionenfolge lokal gleichmäßig beschränkt ist, gilt:

Wähle .

Seien nun . Dann gilt (Cauchysche Integralformel):

Nun schätzt man das Integral durch die Länge der Kurve und das Maximum des Integranden ab (genaugenommen einer Abschätzung des Maximums):

Also gilt:

Nun liegt P dicht in G. Man kann also für jedes vorgegebene ε endlich viele aus P wählen, sodass die ε Umgebungen ganz überdecken. (Da kompakt ist, reichen endlich viele.) Hier wählen wir unser ε genau so, dass wir dann in Kombination mit der oberen Abschätzung genau erhalten.

sei das zu z nächstgelegene . Dann kann man mittels der oberen zwei Abschätzungen den ersten und letzten Summanden jeweils mit abschätzen. Da die ja auf den punktweise konvergieren, ist auch der mittlere Term (für hinreichend großes n) kleiner als .

So erhalten wir:

Beweis (Satz von Montel)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um das obere Lemma verwenden zu können, wählen wir zunächst eine abzählbare dichte Teilmenge des Gebietes . (z. B.: Nur jene mit rationalen Real- und Imaginärteil)

Nun betrachten wir die Folge an der Stelle . Da die Folge lokal gleichmäßig beschränkt ist, folgt mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine Teilfolge existiert, sodass konvergiert. Wir bezeichnen diese Folge mit .

Nun kann man diese Funktionenfolge im Punkt betrachten. Mit dem gleichen Argument wie oben erhält man, dass es eine im Punkt konvergente Teilfolge gibt.

So definiert man induktiv die Funktionenfolgen .

Nun betrachtet man die Diagonalfolge . Diese konvergiert für alle nach dem Cantor'schem Diagonalfolge-Verfahren und ist daher nach dem Lemma auch kompakt konvergent auf dem Gebiet .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. P. Montel, Sur les familles normales de fonctions analytiques, Annales de l'Ecole Normale Superieure (3), Band 33, S. 223-302, 1916.
  2. L. Zalcman, Normal families: New perspectives, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 35, S. 215-230, 1998.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]