Satz von Ostrowski

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Der Satz von Ostrowski ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie (Bewertungstheorie). Er besagt, dass jeder auf den rationalen Zahlen definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur üblichen Betragsfunktion oder zu einem p-adischen Betrag äquivalent ist. Der Satz wurde 1916 von Alexander Ostrowski bewiesen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Absolutbetrag auf einem Körper ist eine Abbildung

,

die für alle folgende Eigenschaften erfüllt:

,
,
,
.

Zwei Absolutbeträge und heißen äquivalent, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

für alle .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der triviale Betrag:

.

Die auf den reellen Zahlen definierte Betragsfunktion

.

Der für jede Primzahl auf den rationalen Zahlen definierte p-adische Betrag:

Hierbei wird benutzt, dass sich jede rationale Zahl eindeutig als mit paarweise teilerfremden Zahlen und darstellen lässt.

Satz von Ostrowski[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder auf den rationalen Zahlen definierte nicht-triviale Absolutbetrag

ist entweder zur Betragsfunktion oder zu einem p-adischen Betrag äquivalent.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alexander Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung ψ(x)⋅ψ(x)=ψ(xy). Acta Math. 41 (1916), no. 1, 271–284.
  • Emil Artin: Algebraic numbers and algebraic functions. I. Institute for Mathematics and Mechanics, New York University, New York, 1951.
  • Edwin Weiss: Algebraic number theory. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York-San Francisco-Toronto-London 1963.
  • A. C. M. van Rooij: Non-Archimedean functional analysis. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., 51. Marcel Dekker, Inc., New York, 1978. ISBN 0-8247-6556-7.
  • Fernando Q. Gouvêa: p-adic numbers. An introduction. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56844-1.