Satz von Paley

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Der Satz von Paley, benannt nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley, ist ein mathematischer Lehrsatz über die Konstruktion von Hadamard-Blockplänen mit Hilfe der Methoden der Gruppentheorie. Er liegt als solcher im Übergangsfeld von Kombinatorik, Geometrie und Algebra.[1][2][3][4][5]

Blockpläne, welche nach dem Satz von Paley konstruierbar sind, werden manchmal auch als Paley-Blockpläne (engl. Paley designs) bzw. Paley-Hadamard-2-Blockpläne (engl. Paley-Hadamard 2-designs) bezeichnet.[6][7]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Primzahlpotenz der Gestalt [8] zu einer natürlichen Zahl gilt stets:

(I) Es existiert ein -Blockplan, also ein symmetrischer Blockplan mit den Parametern , , , .
(II) Die zugehörige Inzidenzstruktur lässt sich dabei in folgender Weise konstruieren:
  1. Den zu gehörenden Galois-Körper wählt man als Punktmenge von ; das heißt man wählt , also die Körperelemente als die Punkte der Inzidenzstruktur.
  2. Für die Konstruktion des Blocksystems geht man aus von der multiplikativen Gruppe des Galoiskörpers und betrachtet hier die Untergruppe der Quadrate , also . Dann setzt man .
  3. Die Inzidenzrelation ist die Elementrelation, also .

Beispiele von Paley-Blockplänen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden kleinsten Beispiele von Paley-Blockplänen sind diejenigen für die beiden Primzahlen und .[9]

So ergibt für auf der -Blockplan, dessen geometrische Struktur der der Fano-Ebene entspricht. Die oben beschriebene Untergruppe der Quadrate von ist .[10][11]

Für ergibt sich auf der -Blockplan. Die Untergruppe der Quadrate von ist hier .

Weitere Beispiele ergeben sich aus anderen Artikeln der Kategorie Blockplan:

Hauptartikel: (7,3,1)-Blockplan
Hauptartikel: (11,5,2)-Blockplan
Hauptartikel: (19,9,4)-Blockplan
Hauptartikel: (23,11,5)-Blockplan
Hauptartikel: (31,15,7)-Blockplan
Hauptartikel: (43,21,10)-Blockplan
Hauptartikel: (47,23,11)-Blockplan
Hauptartikel: (59,29,14)-Blockplan
Hauptartikel: (67,33,16)-Blockplan

Anmerkungen zum Beweis des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis des Satzes von Paley lässt sich führen mit Hilfe der Ungleichung von Fisher und der Tatsache, dass eine spezielle Permutationsgruppe existiert, welche 2-fach homogen auf operiert.

Wie sich nämlich zeigt, lässt sich so das Blocksystem auch noch auf andere Weise beschrieben, nämlich als Menge der -Bilder von über alle , also in der Form .

Man gewinnt die Permutationsgruppe dabei aus der obigen Untergruppe , indem man diejenigen Permutationen betrachtet, welche die Form haben, wobei und fest gewählte Elemente sind. All diese Permutationen, versehen mit der üblichen Verkettung, bilden dann .

Es lässt sich nun zeigen, dass die Untergruppe die Ordnung hat, während sich für die Permutationsgruppe die Ordnung ergibt. Also hat ungerade Ordnung und enthält nach dem Satz von Lagrange kein Element der Ordnung 2. Daher ist , woraus dann die 2-fache Homogenität von folgt.[12]

Verwandtes Resultat[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf Raymond Paley geht ein weiteres Resultat über Hadamard-Blockpläne zurück:[13][14]

Zu jeder Primzahlpotenz der Gestalt   existiert ein Hadamard-Blockplan mit den Parametern , , , , also ein symmetrischer -Blockplan.

Aus diesem Resultat ergibt sich beispielsweise die Existenz folgender Hadamard-Blockpläne:

Hauptartikel: (35,17,8)-Blockplan
Hauptartikel: (51,25,12)-Blockplan

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Beutelspacher: S. 104–108.
  2. Lüneburg: S. 75 ff.
  3. Beth-Jungnickel-Lenz: S. 70 ff.,262,264.
  4. Hughes-Piper: S. 107 ff.
  5. Jacobs-Jungnickel: S. 251 ff.
  6. Dembowski: S. 97.
  7. Hughes-Piper: S. 107, 180.
  8. Also .
  9. Beth-Jungnickel-Lenz: S. 262, 264.
  10. Wegen der Unterschiede in der Darstellung in dem zugehörigen Hauptartikel beachte man den Hinweis auf den Singer-Zyklus.
  11. Auch alle Primzahlpotenzen der Gestalt   , mit einer Basisprimzahl liefern stets Paley-Blockpläne. So sieht man etwa für , also für die Primzahlpotenzen   , dass ein -Blockplan, ein -Blockplan und auch ein -Blockplan existiert. Siehe auch
    Hauptartikel: (27,13,6)-Blockplan
  12. Der wesentliche Beweisschritt besteht hier darin zu zeigen, dass allein die identische Abbildung von eine beliebige 2-elementige Teilmenge festlässt, dass also für und   die Gleichung stets nach sich zieht; s. Beutelspacher: S. 106. Und auch Lüneburg: S. 79.
  13. Jacobs-Jungnickel: S. 252.
  14. Beth-Jungnickel-Lenz: S. 70–72.