Satz von Pappos

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Satz von Pappos: projektive Form
Satz von Pappos: affine Form

Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie.[1] Er taucht erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf.[2] Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen.

Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form:

Liegen 6 Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g, h, so sind die Punkte

P_7:= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5},
 P_8:= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},
 P_9:= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}

kollinear, d. h., sie liegen auf einer Gerade u (s. Bild).

Sind die beiden Geraden g, h durch die Sechseckpunkte und die Gerade u kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.

Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert:

Liegen 6 Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g, h und sind sowohl das

Geradenpaar \overline{P_1P_2}, \overline{P_4P_5} als auch das
Geradenpaar \overline{P_2P_3}, \overline{P_5P_6} parallel,

so sind auch  \overline{P_3P_4} und  \overline{P_6P_1} parallel (s. Bild).

Im projektiven Abschluss der zu Grunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die 3 parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Gerade u, und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.

Bedeutung: Pappossche Ebenen [Bearbeiten]

Der Satz von Pappos gilt nicht in jeder projektiven Ebene. Er gilt nur in solchen Ebenen, die sich mit Hilfe eines (kommutativen) Körpers koordinatisieren lassen. Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit des Satzes von Pappus die Koordinatisierbarkeit der Ebene mit einem Koordinatenkörper. Solche Ebenen, affin oder projektiv, sind also durch den Satz von Pappos gekennzeichnet und heißen pappossche Ebenen.[3]

Für einen Überblick über affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Pappus oder schwächere Schließungssätze allgemein gelten, und die Folgerungen, die sich damit jeweils für die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches ergeben, siehe die Artikel „Ternärkörper“ und „Klassifikation projektiver Ebenen“.

Der projektive Satz von Pappos als Axiom und äquivalente Aussagen[Bearbeiten]

Wie schon im Abschnitt Bedeutung erläutert, ist der projektive Satz von Pappos unabhängig von den Inzidenzaxiomen einer projektiven Ebene, daher wird er bzw.  zu ihm (auf Grundlage der Inzidenzaxiome) gleichwertige Aussagen auch als ein Axiom, hier abgekürzt als (PA), bezeichnet. Dieses Axiom ist auch unabhängig vom Fano-Axiom, hier kurz (FA), denn es existieren

  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(K) über jedem kommutativen Körper K mit einer von 2 verschiedenen Charakteristik. Sie erfüllen (FA) und (PA),
  • projektiven Ebenen \mathbb{P}^2(K) über jedem kommutativen Körper K mit Charakteristik 2. Sie erfüllen (FA) nie, aber stets (PA),
  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(S), die nicht pappossch sind und auch nicht (FA) erfüllen, da es nichtkommutative Schiefkörper S mit der Charakteristik p zu jeder Primzahl p, also auch solche mit der Charakteristik 2 gibt,[4]
  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(S), die nicht pappossch sind, aber (FA) erfüllen, da es zu jeder ungeraden Primzahlcharakteristik p und zur Charakteristik 0 je wenigstens einen nichtkommutativen Schiefkörper gibt.[4]

→ Vergleiche dazu auch den Satz von Gleason und den Satz von Hanna Neumann in Fano-Axiom#AntiFano.

Folgende synthetische und analytische Aussagen über eine projektive Ebene \mathbb{P} sind äquivalent:

  1. \mathbb{P} ist pappossch.
  2. \mathbb{P} ist desarguessch und der Koordinatenschiefkörper von \mathbb{P} ist kommutativ.[5]
  3. Einer der oder gleichwertig jeder Koordinatenternärkörper von \mathbb{P} ist zu einem kommutativen Körper isomorph.[6]
  4. Es existiert eine Gerade g in \mathbb{P}, so dass die affine Ebene A=\mathbb{P}\setminus g den affinen Satz von Pappos erfüllt.[6]
  5. Die vorige Aussage gilt für jede Gerade der Ebene.[6]

Hauptsatz der projektiven Geometrie [Bearbeiten]

Eine perspekive Zuordnung \pi: a\rightarrow b zwischen zwei verschiedenen Geraden einer projektiven Ebene. Werden mehrere solche Zuordnungen verkettet \pi_n\circ\cdots\circ\pi_1 dann spricht man von einer projektiven Zuordnung zwischen dem Definitionsbereich der ersten Zuordnung \pi_1, der Punktreihe einer Geraden a_1 und dem Bildbereich der letzten Zuordnung \pi_n, die eine Punktreihe auf einer Geraden a_n ist. Dann darf auch a_1=a_n sein. Jede perspektive Zuordnung ist auch eine projektive Zuordnung, aber im Allgemeinen nicht umgekehrt. Im Bild gilt also die perspektive Relation (A_1,A_2,A_3)\stackrel{Z}\doublebarwedge (B_1,B_2,B_3) und daher auch die verallgemeinerte projektive Relation (A_1,A_2,A_3)\barwedge (B_1,B_2,B_3).

Die folgende Aussage wurde in der Geometrie der Lage des 19. Jahrhunderts als Hauptsatz der projektiven Geometrie[7] bezeichnet:

Eine Projektivität ist bestimmt, wenn drei Punkte einer Geraden und die entsprechenden drei der anderen Geraden gegeben sind.[8]

Bei dieser Formulierung des Satzes ist zu beachten:

  1. „Projektivität“ bezeichnet hier eine projektive Zuordnung, das ist eine Verkettung von perspektiven Zuordnungen zwischen den Punktreihen von zwei verschiedenen projektiven Geraden und nicht eine projektive Kollineation der gesamten Ebene oder gar des Raumes! Über die Existenz oder Eindeutigkeit einer solchen Fortsetzung wird hier nichts ausgesagt.
  2. Im Zusammenhang wird vorausgesetzt, dass beide projektiven Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen, also gleichwertig einander schneiden. Auch die verketteten perspektiven Zuordnungen können dann ganz in dieser Ebene vorgenommen werden.
  3. Die Entsprechung des Satzes („entsprechende Punkte“) ist in modernerer Formulierung eine Relation zwischen Punktetripeln, also zwischen geordneten Mengen von drei (für diesen Satz verschiedenen) Punkten. Anders formuliert: Es ist für den Satz wichtig, welcher der drei Punkte auf der ersten Geraden welchem auf der zweiten „entspricht“.

Eine moderne Formulierung, die diese drei zu beachtenden Bedingungen berücksichtigt, lautet:[9]

Axiom P7´: Es seien a,b verschiedene Geraden in einer projektiven Ebene. Es seien A_1,A_2,A_3\in a; B_1,B_2,B_3\in b jeweils Tripel verschiedener Punkte.[10] Dann existiert genau eine projektive Zuordnung \pi: a\rightarrow b, so dass (A_1,A_2,A_3)\barwedge (B_1,B_2,B_3) bezüglich dieser projektiven Zuordnung gilt, vergleiche dazu auch die erste Abbildung rechts.
Dual zur perspekiven bzw. projektiven Zuordnung zwischen zwei Punktreihen sind die entsprechenden Zuordnungen für die Büschelgeraden durch zwei Punkte Y,Z definiert, im Bild ist die Zuordnung axial-perspektiv von der Achse a aus. Man schreibt für die abgebildeten Büschelgeraden: (g_1,g_2,g_3)\stackrel{a}\doublebarwedge (h_1,h_2,h_3).

Die folgenden Varianten des Hauptsatzes sind zueinander äquivalente Aussagen über eine projektive Ebene und gleichwertig zum Satz von Pappos (PA):[11]

  • Axiom P7´
  • Axiom P7: Es seien a eine Gerade in einer projektiven Ebene. Es seien (A_1,A_2,A_3),(B_1,B_2,B_3) zwei Tripel aus drei unterschiedlichen Punkten auf a. Dann existiert höchstens eine projektive Zuordnung \pi: a\rightarrow a, bezüglich der (A_1,A_2,A_3)\barwedge (B_1,B_2,B_3) gilt.
  • Axiom P7´´: Es seien a,b verschiedene Geraden in einer projektiven Ebene, F=a\cap b ihr Schnittpunkt. Dann ist jede projektive Zuordnung \pi: a\rightarrow b, die F fixiert (das heißt mit \pi(F)=F) eine perspektive Zuordnung.

Für jede projektive Ebene sind die drei genannten P7-Aussagen äquivalent zu den dualisierten Aussagen. Als Beispiel die duale Form von P7:[9]

D7: Es sei Z ein Punkt in einer projektiven Ebene. Es seien (g_1,g_2,g_3),(h_1,h_2,h_3) zwei Tripel aus drei unterschiedlichen Geraden durch Z. Dann existiert höchstens eine projektive Zuordnung \Pi: \{g|g\ni Z\}\rightarrow \{g|g\ni Z\}, bezüglich der (g_1,g_2,g_3)\barwedge (h_1,h_2,h_3) gilt.

Zusammenhang mit dem Satz von Desargues: Satz von Hessenberg [Bearbeiten]

Als Satz von Hessenberg wird in der projektiven Geometrie die Aussage

In einer projektive Ebene, in der der Satz von Pappos allgemeingültig ist, ist auch der Satz von Desargues allgemeingültig.

bezeichnet. Dieser Satz wurde von Gerhard Hessenberg, nach dem er benannt ist, 1905[12] (lückenhaft)[5] bewiesen. Er ist von fundamentaler Bedeutung für die synthetische Geometrie. Ein vollständiger Beweis (über verschiedene Hilfssätze) findet sich im Lehrbuch von Lüneburg.[5]

Das heißt: Aus dem Axiom von Pappos (PA) folgt das Axiom von Desargues. Dass die Umkehrung im Allgemeinen (genauer: für unendliche projektive Ebenen) falsch ist, ist durch die Existenz von projektiven Ebenen über nichtkommativen Schiefkörpern erwiesen.

Folgerung für endliche Ebenen aus dem Satz von Hessenberg

Mit dem Satz von Wedderburn folgt, dass für endliche projektive oder affine Ebenen der Satz von Pappos und der Satz von Desargues äquivalent sind.

Literatur[Bearbeiten]

Zur Geschichte des Satzes von Pappos
  •  Harold Scott MacDonald Coxeter mit S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
  •  Carl Immanuel Gerhardt: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch in 2 Bänden. H. W. Schmidt, Halle und Eisleben 1871, 1875.
  •  Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. Dover, New York 1921 (Erstausgabe), 1981.
Hauptsatz der projektiven Geometrie
  •  Harold Scott MacDonald Coxeter, Wilhelm Blaschke (Hrsg.): Reelle projektive Geometrie der Ebene. Nach der 2. engl. Auflage übersetzt von W. Burau (= Mathematische Einzelschriften. 3). 1. deutsche Auflage. R. Oldenbourg, München 1955 (Das Lehrbuch bringt die klassische, reelle „Geometrie der Lage“ des 19. Jahrhunderts in relativ moderner Formulierung, vor allem erläutert der Autor bzw. Übersetzer ausführlich, auf wen bestimmte Ideen und Sprechweisen zurückgehen und der Übersetzer erläutert Unterschiede zwischen deutschem und amerikanischem Sprachgebrauch).
  •  Karl Georg Christian von Staudt: Geometrie der Lage. 1857, § 110 (Formulierung und Beweis des Hauptsatzes der projektiven Geometrie für den reellen Fall).
Lehrbücher
  •  Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2 Auflage. John Wiley & Sons, New York 1969, ISBN 978-0-471-50458-0.
  •  Helmut Karzel, Kay Sörensen und Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7.
  •  Lars Kadison und Matthias T. Kromann: Projective Geometry and Modern Algebra. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1996, ISBN 3-7643-3900-4 (Formuliert und beweist einfache Transitivitätseigenschaften der projektiven Gruppe, die zum Satz von Pappos äquivalent sind; Abhängigkeiten zwischen den 3 Axiomen: Fano, Desargues und Pappos, Inhaltsverzeichnis PDF, abgerufen am 6. August 2013).
  •  Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen (Ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg, Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt, Digitalisierte Leseprobe bei google-books, abgerufen am 30. Juli 2013).
  •  Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akad. Verl., Leipzig 1965.
  •  Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie I. Bibliographisches Institut, Mannheim 1969.

Weblink[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Strenggenommen müsste er heute als „Axiom“ bezeichnet werden, da er zwar in der reellen Geometrie stets gilt, aber in den heute als „affin“ bzw. „projektiv“ bezeichneten Geometrien nur genau dann, wenn die betrachtete Geometrie durch einen Körper koordinatisiert werden kann. Lüneburg (1999) III: Pappossche Ebenen
  2. Gerhardt (1871,1875)
  3. Lüneburg (1999), Kapitel III, Definition 1.1, häufig findet sich auch die Schreibweise pappussche Ebene.
  4. a b Kadison und Kromann (1996): 7.3: A Noncommutative Division Ring with Characteristic p
  5. a b c Lüneburg (1999), III.1: Der Satz von Hessenberg
  6. a b c Lenz (1965)
  7. von Staudt (1857)
  8. Bezeichnung und Formulierung des Satzes wörtlich aus Coxeter (1955), 4:Satz des Pappos, 4.2: Der Hauptsatz der projektiven Geometrie
  9. a b Übersetzt aus Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7
  10. Auch der Schnittpunkt S=a\cap b darf in einem oder beiden Tripeln vorkommen! Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7
  11. Übersetzt aus Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7
  12. Kadison und Kromann (1996) 6.3. Pappus' theorem