Satz von Pappos

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Satz von Pappos: projektive Form
Satz von Pappos: affine Form

Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie.[1] Er tauchte erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf.[2] Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen.

Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form:

Liegen sechs Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g und h, so sind die Punkte

P_7:= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5},
 P_8:= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},
 P_9:= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}

kollinear, d. h., sie liegen auf einer Gerade u (siehe Bild).

Sind die beiden Geraden g und h durch die Sechseckpunkte und die Gerade u kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.

Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert:

Liegen sechs Punkte P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g und h und sind sowohl das

Geradenpaar \overline{P_1P_2}, \overline{P_4P_5} als auch das
Geradenpaar \overline{P_2P_3}, \overline{P_5P_6} parallel,

so sind auch  \overline{P_3P_4} und  \overline{P_6P_1} parallel (s. Bild).

Im projektiven Abschluss der zugrunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die drei parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Gerade u, und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.

Beweis des Satzes in einer affinen Ebene über einem Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz von Pascal: Beweis

Wegen der Parallelität in einer affinen Ebene muss man zwei Fälle Unterscheiden, je nachdem, ob die Geraden g,h sich schneiden oder nicht. Der Schlüssel zu einem einfachen Beweis ist die immer mögliche geeignete Koordinatisierung der affinen Ebene. Denn in einem 2-dimensionalen Vektorraum kann man den Nullpunkt und zwei (linear unabhängige) Basisvektoren frei wählen.

Fall 1: Die beiden Geraden g,h schneiden sich und es sei Z=g\cap h.
In diesem Fall lassen sich Koordinaten so einführen, dass Z=(0,0), \; P_1=(0,1), \;P_6=(1,0) ist (s. Bild). Die Punkte P_5,P_3 haben dann Koordinaten P_5=(0,c), P_3=(0,d), \; c,d \notin \{0,1\}. Da die Geraden P_5P_6 ,\; P_3P_2 parallel sind, gilt P_2=(\tfrac{d}{c},0). Aus der Parallelität der Geraden P_1P_2, P_5P_4 folgt dann, dassP_4=(d,0) sein muss. Also hat die Gerade P_3P_4 die Steigung -1 und ist damit parallel zu P_1P_6.

Fall 2: g\parallel h.
In diesem Fall werden die Koordinaten so gewählt, dass P_6=(0,0), P_2=(1,0), P_1=(0,1), P_5=(c,1),c\ne 0 ist. Aus den Parallelitäten P_1P_2\parallel P_5P_4 und  P_6P_5\parallel P_2P_3 folgt P_3=(c+1,1) und  P_4=(c+1,0) und damit die Parallelität P_1P_6\parallel P_3P_4.

Bedeutung: Pappossche Ebenen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Pappos gilt nicht in jeder projektiven Ebene. Er gilt nur in solchen Ebenen, die sich mit Hilfe eines (kommutativen) Körpers koordinatisieren lassen. Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit des Satzes von Pappos die Koordinatisierbarkeit der Ebene mit einem Koordinatenkörper. Solche Ebenen, affin oder projektiv, sind also durch den Satz von Pappos gekennzeichnet und heißen pappossche Ebenen.[3]

Für einen Überblick über affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Pappos oder schwächere Schließungssätze allgemein gelten, und die Folgerungen, die sich damit jeweils für die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches ergeben, siehe die Artikel „Ternärkörper“ und „Klassifikation projektiver Ebenen“.

Der projektive Satz von Pappos als Axiom und äquivalente Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie schon im Abschnitt Bedeutung erläutert, ist der projektive Satz von Pappos unabhängig von den Inzidenzaxiomen einer projektiven Ebene, daher wird er bzw.  zu ihm (auf Grundlage der Inzidenzaxiome) gleichwertige Aussagen auch als ein Axiom, hier abgekürzt als (PA), bezeichnet. Dieses Axiom ist auch unabhängig vom Fano-Axiom, hier kurz (FA), denn es existieren

  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(K) über jedem kommutativen Körper K mit einer von 2 verschiedenen Charakteristik. Sie erfüllen (FA) und (PA),
  • projektiven Ebenen \mathbb{P}^2(K) über jedem kommutativen Körper K mit Charakteristik 2. Sie erfüllen (FA) nie, aber stets (PA),
  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(S), die nicht pappossch sind und auch nicht (FA) erfüllen, da es nichtkommutative Schiefkörper S mit der Charakteristik p zu jeder Primzahl p, also auch solche mit der Charakteristik 2 gibt,[4]
  • projektive Ebenen \mathbb{P}^2(S), die nicht pappossch sind, aber (FA) erfüllen, da es zu jeder ungeraden Primzahlcharakteristik p und zur Charakteristik 0 je wenigstens einen nichtkommutativen Schiefkörper gibt.[4]

→ Vergleiche dazu auch den Satz von Gleason und den Satz von Hanna Neumann in Fano-Axiom#AntiFano.

Folgende synthetische und analytische Aussagen über eine projektive Ebene \mathbb{P} sind äquivalent:

  1. \mathbb{P} ist pappossch.
  2. \mathbb{P} ist desarguessch und der Koordinatenschiefkörper von \mathbb{P} ist kommutativ.[5]
  3. Einer der oder gleichwertig jeder Koordinatenternärkörper von \mathbb{P} ist zu einem kommutativen Körper isomorph.[6]
  4. Es existiert eine Gerade g in \mathbb{P}, so dass die affine Ebene A=\mathbb{P}\setminus g den affinen Satz von Pappos erfüllt.[6]
  5. Die vorige Aussage gilt für jede Gerade der Ebene.[6]

Zusammenhang mit dem Satz von Desargues: Satz von Hessenberg [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Satz von Hessenberg wird in der projektiven Geometrie die Aussage

In einer projektive Ebene, in der der Satz von Pappos allgemeingültig ist, ist auch der Satz von Desargues allgemeingültig.

bezeichnet. Dieser Satz wurde von Gerhard Hessenberg, nach dem er benannt ist, 1905[7] (lückenhaft)[5] bewiesen. Er ist von fundamentaler Bedeutung für die synthetische Geometrie. Ein vollständiger Beweis (über verschiedene Hilfssätze) findet sich im Lehrbuch von Lüneburg.[5]

Das heißt: Aus dem Axiom von Pappos (PA) folgt das Axiom von Desargues. Dass die Umkehrung im Allgemeinen (genauer: für unendliche projektive Ebenen) falsch ist, ist durch die Existenz von projektiven Ebenen über nichtkommutativen Schiefkörpern erwiesen.

Folgerung für endliche Ebenen aus dem Satz von Hessenberg
Mit dem Satz von Wedderburn folgt, dass für endliche projektive oder affine Ebenen der Satz von Pappos und der Satz von Desargues äquivalent sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Geschichte des Satzes von Pappos

  • Harold Scott MacDonald Coxeter mit S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
  • Carl Immanuel Gerhardt: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch in 2 Bänden. H. W. Schmidt, Halle und Eisleben.
  • Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. Dover, New York.

Hauptsatz der projektiven Geometrie

  • Harold Scott MacDonald Coxeter: Reelle projektive Geometrie der Ebene. Nach der 2. engl. Auflage übersetzt von W. Burau Hrsg.: Wilhelm Blaschke. (= Mathematische Einzelschriften. Band 3). 1. deutsche Aufl. R. Oldenbourg, München 1955 (Das Lehrbuch bringt die klassische, reelle „Geometrie der Lage“ des 19. Jahrhunderts in relativ moderner Formulierung, vor allem erläutert der Autor bzw. Übersetzer ausführlich, auf wen bestimmte Ideen und Sprechweisen zurückgehen und der Übersetzer erläutert Unterschiede zwischen deutschem und amerikanischem Sprachgebrauch).
  • Karl Georg Christian von Staudt: Geometrie der Lage. 1857, § 110, S. 52 (Formulierung und Beweis des Hauptsatzes der projektiven Geometrie für den reellen Fall).

Lehrbücher

  • Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Aufl. John Wiley & Sons, New York 1969, ISBN 978-0-471-50458-0.
  • Helmut Karzel, Kay Sörensen und Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7.
  • Lars Kadison und Matthias T. Kromann: Projective Geometry and Modern Algebra. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1996, ISBN 3-7643-3900-4 (Inhaltsverzeichnis PDF [abgerufen am 6. August 2013] Formuliert und beweist einfache Transitivitätseigenschaften der projektiven Gruppe, die zum Satz von Pappos äquivalent sind; Abhängigkeiten zwischen den 3 Axiomen: Fano, Desargues und Pappos).
  • Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen (Digitalisierte Leseprobe bei google-books [abgerufen am 30. Juli 2013] Ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg, Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt).
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akad. Verl., Leipzig 1965.
  • Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie I. Bibliographisches Institut, Mannheim 1969.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Strenggenommen müsste er heute als „Axiom“ bezeichnet werden, da er zwar in der reellen Geometrie stets gilt, aber in den heute als „affin“ bzw. „projektiv“ bezeichneten Geometrien nur genau dann, wenn die betrachtete Geometrie durch einen Körper koordinatisiert werden kann. Lüneburg (1999) III: Pappossche Ebenen.
  2. Gerhardt (1871,1875).
  3. Lüneburg (1999), Kapitel III, Definition 1.1, häufig findet sich auch die Schreibweise pappussche Ebene.
  4. a b Kadison und Kromann (1996): 7.3: A Noncommutative Division Ring with Characteristic p.
  5. a b c Lüneburg (1999), III.1: Der Satz von Hessenberg.
  6. a b c Lenz (1965)
  7. Kadison und Kromann (1996) 6.3. Pappus' theorem