Satz von Rao-Blackwell

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Der Satz von Rao-Blackwell ist ein mathematischer Satz aus der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Er konstruiert aus einem vorgegebenen Punktschätzer mittels des bedingten Erwartungswertes einen neuen Schätzer, der in dem Sinne besser als der anfangs gegebene Schätzer ist, als dass er eine geringere Varianz besitzt. Daher nennt man den neu gewonnenen Schätzer auch die Rao-Blackwell-Verbesserung[1] des vorgegebenen Schätzers und die genutzte Vorgehensweise Rao-Blackwellisierung[2].

Der Satz ist nach Calyampudi Radhakrishna Rao und David Blackwell benannt.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein statistisches Modell  (X, \mathcal A, (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}) . Des Weiteren sei  (E, \mathcal E) ein Entscheidungsraum und

 d: X \to E

eine Schätzfunktion für die Parameterfunktion

 g: \Theta \to E

sowie  T eine suffiziente Statistik für  (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} . Aufgrund der der Suffizienz ist der bedingte Erwartungswert unabhängig von  \vartheta und die Definition

 d^+:=E_\bullet(d|T)

ist sinnvoll (Das  {}_\bullet soll klarmachen, dass der bedingte Erwartungswert gewöhnlich von  \vartheta abhängt, in diesem Fall die Wahl von  \vartheta aber beliebig ist).

Dann gilt:

  1.  d und  d^+ haben denselben Bias.
  2. Es ist
 \operatorname{E}_\vartheta \left( (d^+-g(\vartheta))^2\right) \leq \operatorname{E}_\vartheta \left( (d-g(\vartheta))^2\right)
für alle  \vartheta \in \Theta .

Für den Spezialfall, dass  d erwartungstreu ist, folgt

  1.  d^+ ist ebenfalls erwartungstreu.
  2. Es ist
 \operatorname{Var}_\vartheta(d^+) \leq \operatorname{Var}_\vartheta(d)
für alle  \vartheta \in \Theta .

Teils wird der Satz auch mit einer suffizienten σ-Algebra  \mathcal B anstelle der suffizienten Statistik  T formuliert. Die Aussagen bleiben jedoch identisch.

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erste Aussage folgert aus  E_\vartheta(d|T)=E_\bullet(d|T) P-fast überall für alle  \vartheta \in \Theta . Somit ist

 \operatorname E_\vartheta(d^+)=\operatorname E_\vartheta\left( E_\vartheta(d|T)\right)=\operatorname E_\vartheta (d) ,

wobei der letzte Schritt aus den elementaren Rechenregeln des bedingten Erwartungswertes folgt. Subtraktion von  g(\vartheta) liefert die Behauptung.

Die zweite Aussage folgt aus der jensenschen Ungleichung für bedingte Erwartungswerte

 \varphi(E(d|T)) \leq E(\varphi(d)|T), \quad \text{ angewandt auf } \varphi( \cdot)= (\cdot-g(\vartheta))^2.

Daraus folgt

 (d^+-g(\vartheta))^2 \leq \operatorname E_\bullet((d-g(\vartheta))^2|T)

für alle  \vartheta \in \Theta . Bilden des Erwartungswertes liefert die Aussage.

Einordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Rahmen eines statistischen Entscheidungsproblem lässt sich der Satz von Rao-Blackwell wie folgt einordnen: Der Punktschätzer ist eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion, als Verlustfunktion ist das  \varphi wie oben in der Beweisskizze gewählt. Die Risikofunktionen werden durch Erwartungswertbildung gewonnen und sind dann wie oben angegeben

 R_d(\vartheta)=\operatorname{E}_\vartheta \left( (d-g(\vartheta))^2\right)  .

In dieser Formulierung lautet der Satz von Rao-Blackwell

 R_{d^+}(\vartheta) \leq R_d(\vartheta)  \text{ für alle } \vartheta \in \Theta .

Somit liefert der Satz von Rao-Blackwell zu jeder Entscheidungsfunktion eine Rao-Blackwell-Verbesserung, welche für jeden Parameter  \vartheta die Risikofunktion verbessert.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der oben genannten Einordnung und durch die Verwendung der Jensenschen Ungleichung im Beweis lässt sich die Rao-Blackwell-Verbesserung auf beliebige konvexe Verlustfunktionen der Form

 \varphi (\cdot):=L( \cdot- g(\vartheta))

verallgemeinern. Somit lässt sich der Satz von Rao-Blackwell beispielsweise auch für Mengen von L-unverfälschten Schätzern wie beispielsweise Median-unverfälschten Schätzern formulieren.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Rao-Blackwell ist Basis für den Satzes von Lehmann–Scheffé. Dieser besagt, dass unter der zusätzlichen Voraussetzung der Vollständigkeit die Rao-Blackwell-Verbesserung einen gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzer liefert.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 130.
  2. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 109.