Satz von Rolle

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Ist eine reellwertige Funktion mit stetig auf und differenzierbar auf , so gibt es ein , so dass gilt.

Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und eine stetige Funktion, die im offenen Intervall differenzierbar ist. Erfüllt sie , so gibt es eine Stelle mit

.

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle. Der Mittelwertsatz lässt sich mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da über dem kompakten Intervall stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle ein Minimum und an einer Stelle ein Maximum an. Ist nicht konstant, so muss wegen mindestens oder gelten. Diese Extremalstelle sei mit bezeichnet. Ist konstant, so ist eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls .

Ist die innere Extremalstelle eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von an der Stelle , dass

Somit ist .

Ist eine Minimalstelle von , so ist eine Maximalstelle von und wir erhalten und somit .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Rolle's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien